Question

4．如圖，已知?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，cos∠AEB=$\frac{2}{3}$，求∠C的度數(shù)（精確到1′）．

Answer 1

分析 過A作AF⊥BE于F，由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，∠C=∠DAB，根據(jù)平行線的性質得到∠AEB=∠ABE，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABE=∠CBE，等量代換得到∠AEB=∠ABE，求得AE=AB，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠EAF=∠BAF，解直角三角形即可得到結論．

解答 解：過A作AF⊥BE于F，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠C=∠DAB，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠ABC的平分線交AD于E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∴∠EAF=∠BAF，
∵cos∠AEB=$\frac{2}{3}$，
∴∠AEB≈48°23′，
∴∠EAF=41°37′，
∴∠C=83°14′．

點評 本題考查了平行四邊形的性質，解直角三角形，等腰三角形的性質，平行線的性質，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．