Question

【題目】如圖1，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點D，且ED⊥AC．

（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，若線段AB、DE的延長線交于點F，∠C=75°，CD=2﹣ ，求⊙O的半徑和BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：△ABC是等腰三角形，理由是：如圖1，

連接OE，

∵DE是⊙O的切線，

∴OE⊥DE，

∵ED⊥AC，

∴AC∥OE，

∴∠1=∠C，

∵OB=OE，

∴∠1=∠B，

∴∠B=∠C，

∴△ABC是等腰三角形

（2）

解：如圖2，

過點O作OG⊥AC，垂足為G，則得四邊形OGDE是矩形，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠B=∠C=75°，

∴∠A=180°﹣75°﹣75°=30°，

設(shè)OG=x，則OA=OB=OE=2x，AG= x，

∴DG=0E=2x，

根據(jù)AC=AB得：4x= x+2x+2﹣ ，

x=1，

∴0E=OB=2，

在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°，

cos30= ，OF= =2÷ = ，

∴BF= ﹣2，⊙O的半徑為2

【解析】（1）連接OE，根據(jù)切線性質(zhì)得OE⊥DE，與已知中的ED⊥AC得平行，由此得∠1=∠C，再根據(jù)同圓的半徑相等得∠1=∠B，可得出三角形為等腰三角形；（2）通過作輔助線構(gòu)建矩形OGDE，再設(shè)與半徑有關(guān)系的邊OG=x，通過AB=AC列等量關(guān)系式，可求得結(jié)論．本題考查了切線的性質(zhì)，由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系，由此得出平行和角的關(guān)系，根據(jù)兩個角相等的三角形是等腰三角形可得△ABC是等腰三角形；第二問運用了直角三角形30°角的性質(zhì)及等腰三角形和矩形的有關(guān)性質(zhì)，關(guān)鍵是找出恰當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系式：AC=AB，設(shè)未知數(shù)，列關(guān)于x的一元一次方程得出結(jié)論．