如圖,已知以E(3,0)為圓心,以5為半徑的⊙E與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,拋物線經(jīng)過A,B,C三點,頂點為F.

(1)求A,B,C三點的坐標;

(2)求拋物線的解析式及頂點F的坐標;

(3)已知M為拋物線上一動點(不與C點重合),試探究:

①使得以A,B,M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等,求所有符合條件的點M的坐標;

②若探究①中的M點位于第四象限,連接M點與拋物線頂點F,試判斷直線MF與⊙E的位置關系,并說明理由.

 

【答案】

解:(1)∵以E(3,0)為圓心,以5為半徑的⊙E與x軸交于A,B兩點,

∴A(-2,0),B(8,0)。

如圖所,連接CE,

在Rt△OCE中,,CE=5,

由勾股定理得:

∴C(0,-4)。

(2)∵點A(-2,0),B(8,0)在拋物線上,

∴設拋物線的解析式為。

∵點C(0,-4)在拋物線上,

,解得。

∴拋物線的解析式為:,即。

。

∴頂點F的坐標為(3,)。

  (3)①∵△ABC中,底邊AB上的高OC=4,

∴若△ABC與△ABM面積相等,則拋物線上的點M須滿足條件:|yM|=4。

(I)若yM=4,則,

整理得:,解得。

∴點M的坐標為(,4)或(,4)。

(II)若yM=-4,則,

整理得:,解得x=6或x=0(與點C重合,故舍去)。

∴點M的坐標為(6,-4)。

綜上所述,滿足條件的點M的坐標為:(,4)或(,4)或(6,-4)。

②直線MF與⊙E相切。理由如下:

由題意可知,M(6,-4)。

如圖,連接EM,MF,過點M作MG⊥對稱軸EF于點G,則MG=3,EG=4。

在Rt△MEG中,由勾股定理得:,

∴點M在⊙E上。

由(2)知,F(xiàn)(3,),∴EF=。

。

在Rt△MGF中,由勾股定理得:

在△EFM中,∵,

∴△EFM為直角三角形,∠EMF=90°。

∵點M在⊙E上,且∠EMF=90°,

∴直線MF與⊙E相切。

【解析】(1)由題意可直接得到點A、B的坐標,連接CE,在Rt△OCE中,利用勾股定理求出OC的長,則得到點C的坐標。

(2)已知點A、B、C的坐標,利用交點式與待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,由解析式得到頂點F的坐標。

(3)①△ABC中,底邊AB上的高OC=4,若△ABC與△ABM面積相等,則拋物線上的點M須滿足條件:|yM|=4.因此解方程yM=4和yM=-4,可求得點M的坐標。

②如解答圖,作輔助線,可求得EM=5,因此點M在⊙E上;再利用勾股定理求出MF的長度,則利用勾股定理的逆定理可判定△EMF為直角三角形,∠EMF=90°,所以直線MF與⊙E相切。

 

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(0,1)、(2,-1)、(2+
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,
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