如圖,已知以E(3,0)為圓心,以5為半徑的⊙E與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,拋物線經(jīng)過A,B,C三點,頂點為F.
(1)求A,B,C三點的坐標;
(2)求拋物線的解析式及頂點F的坐標;
(3)已知M為拋物線上一動點(不與C點重合),試探究:
①使得以A,B,M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等,求所有符合條件的點M的坐標;
②若探究①中的M點位于第四象限,連接M點與拋物線頂點F,試判斷直線MF與⊙E的位置關系,并說明理由.
解:(1)∵以E(3,0)為圓心,以5為半徑的⊙E與x軸交于A,B兩點,
∴A(-2,0),B(8,0)。
如圖所,連接CE,
在Rt△OCE中,,CE=5,
由勾股定理得:,
∴C(0,-4)。
(2)∵點A(-2,0),B(8,0)在拋物線上,
∴設拋物線的解析式為。
∵點C(0,-4)在拋物線上,
∴,解得。
∴拋物線的解析式為:,即。
∵。
∴頂點F的坐標為(3,)。
(3)①∵△ABC中,底邊AB上的高OC=4,
∴若△ABC與△ABM面積相等,則拋物線上的點M須滿足條件:|yM|=4。
(I)若yM=4,則,
整理得:,解得或。
∴點M的坐標為(,4)或(,4)。
(II)若yM=-4,則,
整理得:,解得x=6或x=0(與點C重合,故舍去)。
∴點M的坐標為(6,-4)。
綜上所述,滿足條件的點M的坐標為:(,4)或(,4)或(6,-4)。
②直線MF與⊙E相切。理由如下:
由題意可知,M(6,-4)。
如圖,連接EM,MF,過點M作MG⊥對稱軸EF于點G,則MG=3,EG=4。
在Rt△MEG中,由勾股定理得:,
∴點M在⊙E上。
由(2)知,F(xiàn)(3,),∴EF=。
∴。
在Rt△MGF中,由勾股定理得:,
在△EFM中,∵,
∴△EFM為直角三角形,∠EMF=90°。
∵點M在⊙E上,且∠EMF=90°,
∴直線MF與⊙E相切。
【解析】(1)由題意可直接得到點A、B的坐標,連接CE,在Rt△OCE中,利用勾股定理求出OC的長,則得到點C的坐標。
(2)已知點A、B、C的坐標,利用交點式與待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,由解析式得到頂點F的坐標。
(3)①△ABC中,底邊AB上的高OC=4,若△ABC與△ABM面積相等,則拋物線上的點M須滿足條件:|yM|=4.因此解方程yM=4和yM=-4,可求得點M的坐標。
②如解答圖,作輔助線,可求得EM=5,因此點M在⊙E上;再利用勾股定理求出MF的長度,則利用勾股定理的逆定理可判定△EMF為直角三角形,∠EMF=90°,所以直線MF與⊙E相切。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
A、4:π | B、5:π | C、6:π | D、7:π |
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com