Question

【題目】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝50°，連接BD，CE交于點(diǎn)F．填空：

①的值為　 　；②∠BFC的度數(shù)為　 　．

（2）類比探究

如圖2，在矩形ABCD和△DEF中，AD＝AB，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，連接AF交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．求的值及∠APC的度數(shù)，并說(shuō)明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，將△DEF繞點(diǎn)D在平面內(nèi)旋裝，AF，CE所在直線交于點(diǎn)P，若DF＝，AB＝，求出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）1，50°；（2），理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，AF的長(zhǎng)為3或6，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：由“SAS”可證△DAB≌△EAC，可得BD＝CE，∠ACE＝∠ABD，即可求解；

（2）類比探究：通過(guò)證明△ADF∽△CDE，可得，∠FAD＝DCE，即可求解；

（3）拓展延伸：過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DE，由勾股定理可求CE的長(zhǎng)，即可求AF的長(zhǎng)．

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

∵∠BAC＝∠DAE＝50°，

∴∠DAB＝∠EAC，且AB＝AC，AD＝AE

∴△DAB≌△EAC（SAS）

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD

∴

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠BFC+∠FBC+∠FCB＝∠BFC+∠ABC+∠ABF+∠FCB＝∠BFC+∠ABC+∠ACB＝180°

∴∠BFC＝∠BAC＝50°

故答案為1，50°

（2）類比探究：

，∠APC＝90°

理由如下：∵∠DEF＝60°，∠FDE＝90°

∴DF＝DE，

∵四邊形ABCD是矩形

∴CD＝AB，∠ADC＝90°

∴AD＝DC，∠ADC＝∠EDF＝90°

∴∠EDC＝∠ADF，且

∴△ADF∽△CDE

∴，∠FAD＝DCE

∴點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)D，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓

∴∠APC＝∠ADC＝90°

（3）拓展延伸：

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DE，交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∵DF＝，∠DEF＝60°，∠AEC＝90°

∴DE＝1，∠CEM＝30°

∵∠CEM＝30°，CM⊥ED

∴

∵CD2＝CM2+DM2，

∴7＝+（EM﹣1）2，

∴CE＝2

∵，

∴AF＝6

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DE，交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∵DF＝，∠DEF＝60°，∠AEC＝90°

∴DE＝1，∠CEM＝30°

∵∠CEM＝30°，CM⊥ED

∴

∵CD2＝CM2+DM2，

∴7＝+（EM+1）2，

∴CE＝

∵，

∴AF＝3

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，AF的長(zhǎng)為3或6．