Question

已知點(diǎn)P是矩形ABCD邊AB上的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）

（1）如圖①，現(xiàn)將△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一點(diǎn)F，將△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射線PE、PG重合，試問FG與CE的位置關(guān)系如何，請(qǐng)說明理由；

（2）在（1）中，如圖②，連接FC，取FC的中點(diǎn)H，連接GH、EH，請(qǐng)你探索線段GH和線段EH的大小關(guān)系，并說明你的理由；

（3）如圖③，分別在AD、BC上取點(diǎn)F、C’，使得∠APF=∠BPC’，與（1）中的操作相類似，即將△PAF沿PF翻折得到△PFG，并將△沿翻折得到△，連接，取的中點(diǎn)H，連接GH、EH，試問（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）FG∥CE，在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，由題意得，∠G=∠A=90°，∠PEC=∠B=90°，∴∠GEC=90°，∴∠G=∠GEC，∴FG∥CE。

（2）GH=EH。延長(zhǎng)GH交CE于點(diǎn)M，由（1）得，F(xiàn)G∥CE，∴∠GFH=∠MCH，∵H為CF的中點(diǎn)，∴FH=CH，又∵∠GHF=∠MHC，∴△GFH≌△MHC，∴GH=HM=，∵∠GEC=90°，∴EH=，∴GH=EH。

（3）（2）中的結(jié)論還成立。取PF的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)N，∵∠FGP=90°，M為PF的中點(diǎn)，∴，，∥，∴GM=PM，∴∠GPF=∠MGP，∴∠GMF=∠GPF+∠MGP=2∠GPF，∵H為的中點(diǎn)，M為PF的中點(diǎn)，∴，同理，，HN∥PF，∠，∴GM=HN，HM=EN。∵∠GPF=∠FPA，，又，∴∠GPF=，∴∠GMF=∠，∵∥，HN∥PF，∴四邊形HMPN為平行四邊形，∴∠HMF=∠，∴∠GMH=∠HNE，∵GM=HN，HM=EN，∴△GMH≌△HNE，∴GH=HE。

【解析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得到∠G=∠GEC=90°，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，即可證明兩

條直線平行；

（2）延長(zhǎng)GH交CE于點(diǎn)M，結(jié)合（1）中的結(jié)論證明△GFH≌△MHC，再運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半進(jìn)行證明結(jié)論；

（3）取PF的中點(diǎn)M，PC'的中點(diǎn)N，根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線

定理得到平行四邊形，這幾個(gè)平行四邊形的性質(zhì)證明要證明的兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等，從而證明結(jié)論．