Question

【題目】如圖，將一對(duì)直角三角形卡片的斜邊AC重合擺放，直角頂點(diǎn)B，D在AC的兩側(cè)，連接BD，交AC于點(diǎn)O，取AC，BD的中點(diǎn)E，F，連接EF．若AB＝12，BC＝5，且AD＝CD，則EF的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

先求出BE的值，作DM⊥AB，DN⊥BC延長(zhǎng)線(xiàn)，先證明△ADM≌△CDN（AAS），得出AM=CN，DM=DN，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得BM=BN，設(shè)AM=CN=x，BM=AB-AM=12-x=BN=5+x，求出x=，BN=，根據(jù)BD為正方形的對(duì)角線(xiàn)可得出BD= ， BF=BD= ， EF== .

∵∠ABC=∠ADC，

∴A,B,C,D四點(diǎn)共圓，

∴AC為直徑，

∵E為AC的中點(diǎn)，

∴E為此圓圓心，

∵F為弦BD中點(diǎn)，

∴EF⊥BD，

連接BE，∴BE=AC= = =；

作DM⊥AB，DN⊥BC延長(zhǎng)線(xiàn)，∠BAD=∠BCN,

在△ADM和△CDN中，

，

∴△ADM≌△CDN（AAS），

∴AM=CN，DM=DN，

∵∠DMB=∠DNC=∠ABC=90°,

∴四邊形BNDM為矩形，

又∵DM=DN,

∴矩形BNDM為正方形，

∴BM=BN，

設(shè)AM=CN=x，BM=AB-AM=12-x=BN=5+x，

∴12-x=5+x，x=,BN=，

∵BD為正方形BNDM的對(duì)角線(xiàn)，

∴BD=BN= ，BF=BD= ，

∴EF=== .

故答案為 .