Question

如圖，正方形ABCD的邊長是3，點P是直線BC上一點，連接PA，將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，在直線BA上取點F，使BF=BP，且點F與點E在BC同側(cè)，連接EF，CF．

（1）如圖①，當(dāng)點P在CB延長線上時，求證：四邊形PCFE是平行四邊形；

（2）如圖②，當(dāng)點P在線段BC上時，四邊形PCFE是否還是平行四邊形，說明理由；

（3）在（2）的條件下，四邊形PCFE的面積是否有最大值？若有，請求出面積的最大值及此時BP長；若沒有，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°

∵在△PBA和△FBC中，AB=BC，∠PBA=∠FBC，BP=BF，

∴△PBA≌△FBC（SAS）�！郟A=FC，∠PAB=∠FCB。

∵PA=PE，∴PE=FC。

∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°。

∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°。

∴EP∥FC，∴四邊形EPCF是平行四邊形。

（2）結(jié)論：四邊形EPCF是平行四邊形，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°。

∵在△PBA和△FCB中，AB=BC，∠PBA=∠FBC，BP=BF，

∴△PBA≌△FBC（SAS）。∴PA=FC，∠PAB=∠FCB。

∵PA=PE，∴PE=FC。

∵∠FCB+∠BFC=90°，∠EPB+∠APB=90°，∴∠BPE=∠FCB。

∴EP∥FC，∴四邊形EPCF是平行四邊形。

（3）有。

設(shè)BP=x，則PC=3﹣x ，平行四邊形PEFC的面積為S，

 。

∵a=﹣1＜0，∴拋物線的開口向下，

∴當(dāng)x=時，S最大=。

∴當(dāng)BP=時，四邊形PCFE的面積最大，最大值為。

【解析】

試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)可以得出AB=BC，∠ABP=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性質(zhì)就可以得出結(jié)論。

（2）由正方形的性質(zhì)可以得出AB=BC，∠FBC=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性質(zhì)就可以得出結(jié)論。

（3）設(shè)BP=x，則PC=3﹣x  平行四邊形PEFC的面積為S，由平行四邊形的面積公式就可以求出其解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出其最大值�！�