Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M過點(diǎn)O且與y軸、x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于x軸對稱，已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷直線OC與⊙M的位置關(guān)系，并證明；
（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線OC上的動(dòng)點(diǎn)，判斷是否存在以點(diǎn)P、Q、A、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出相應(yīng)的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AM、BM，過點(diǎn)M作MD⊥x軸，ME⊥y軸，由等腰三角形的性質(zhì)可得出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接MC，OM，利用兩點(diǎn)間的距離公式得出OM²，OC²，MC²，的值，利用勾股定理的逆定理判斷出△OMC是等腰直角三角形，故可得出OM⊥OC，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)求出直線OC的解析式，由AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線AB的解析，由兩直線的解析式得出直線AB與直線OC平行，B點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，再分OA為平行四邊形的邊和對角線兩種情況求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
解答：（1）解：如圖1所示：
連接AM、BM，過點(diǎn)M作MD⊥x軸，ME⊥y軸，
∵M(jìn)（2，-2），
∴D（2，0），E（0，-2），
∴A（0，-4），B（4，0），
∴，解得，
∴拋物線的解析式為：y=x²-3x-4；

（2）相切．
證明：如圖2，∵點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-2），
∴C（2，2），
∵點(diǎn)C是直線OC上的點(diǎn)，
連接MC，OM，
∵M(jìn)（2，-2），C（2，2），
∴OM²=2²+（-2）²=8，
OC²=2²+（-2）²=8，
MC²=（2-2）²+（-2-2）²=16，
∵M(jìn)C²=OM²+OC²，
∴△OMC是等腰直角三角形，
∴OM⊥OC，
∴直線OC與⊙M相切；

（3）存在．
設(shè)直線OC的解析式為：y=kx（k≠0），
∵點(diǎn)C是直線OC上的點(diǎn)，
∴2=2k，解得k=1，
∴直線OC的解析式為：y=x，
∵A（0，-4），B（4，0），
連接AB，
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），
∵A（0，-4），B（4，0），
∴，解得，
∴直線AB的解析式為y=x-4，
∴直線AB與直線OC平行，B點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，
當(dāng)OA為平行四邊形的邊時(shí)，如圖3所示：
過點(diǎn)B作BQ1⊥x軸于點(diǎn)Q₁，
∵BQ₁⊥x軸，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，縱坐標(biāo)y=4，
∴Q₁（4，4）；
當(dāng)OA為平行四邊形的對角線時(shí)，如圖4所示：
過點(diǎn)A作AQ₂∥x軸交直線OC于點(diǎn)Q，
則點(diǎn)Q₂的縱坐標(biāo)為-4，橫坐標(biāo)x=-4，
∴Q₂（-4，-4）．
綜上所述：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q₁（4，4），Q₂（-4，-4）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、平行四邊形的判定定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)．