(2002•鹽城)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,以B為圓心的圓交OB于C,交⊙O于E、F,交AB的延長線于D,連接EC并延長交⊙O于G,
(1)求證:AE是⊙B的切線;
(2)求證:EG平分∠AEF;
(3)若M為AO上一點,且GM∥BE,求證:GM等于⊙O的半徑.

【答案】分析:(1)要證明AE是⊙B的切線,只要證明AE⊥BE即可,可以通過角之間的關(guān)系求得∠CEF=∠AEC即EG平分∠AEF.
(2)要證明GM等于⊙O的半徑,可以先連接OG,再根據(jù)角之間的關(guān)系從而得到∠MOG=∠OMG,根據(jù)等角對等邊即可得到GM=GO即GM等于⊙O的半徑.
解答:證明:(1)∵AB是⊙O的直徑,
∴∠AEB=90°,
即AE⊥BE,
又∵BE是⊙B的半徑,
∴AE是⊙B的切線.

(2)連接CF;
∵AE是⊙B的切線,
∴∠CFE=∠AEC;
∵EF是公共弦,O、B為圓心,
∴OB平分EF,
∴弧EC=弧CF,
∴∠CFE=∠CEF=∠AEC,即EG平分∠AEF;

(3)連接OG;
∵MG∥BE,
∴∠BMG=∠MBE;
∵∠AEB=90°,且AB⊥EF,
∴∠AEF=∠MBE,
∴∠MOG=2∠AEG=∠AEF=∠MBE=∠OMG,
∵GM=GO,
∴GM等于⊙O的半徑.
點評:此題主要考查學生對切線的判定及圓心角,弧,弦的關(guān)系的理解及運用.
練習冊系列答案
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(1)求∠BAO的度數(shù);
(2)求直線AB的解析式;
(3)若一拋物線的頂點在直線AB上,且拋物線的頂點和它與x軸的兩個交點構(gòu)成斜邊長為2的直角三角形,求此拋物線的解析式.

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