Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S、求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=-x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）由待定系數(shù)法將A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三個點的坐標代入y=ax²+bx+c，聯(lián)立求解即可；
（2）過M作x軸的垂線，設垂足為D．設點M的坐標為（m，n），即可用含m的代數(shù)式表示MD、OD的長，分別求出△AMD、梯形MDOB、△AOB的面積，那么△AMD、梯形MDOB的面積和減去△AOB的面積即為△AMB的面積，由此可得關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得S的最大值．
（3）解決此題需要充分利用平行四邊形的性質(zhì)求解．設P（x，

1

2

x²+x-4），
①如圖1，當OB為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ∥OB，則Q（x，-x）．由PQ=OB即可求出結(jié)論；
②如圖2，當OB為對角線時，那么P、Q的橫坐標互為相反數(shù)（若P的橫坐標為x，則Q的橫坐標為-x），即Q（-x，x）．由P、O的縱坐標差的絕對值等于Q、B縱坐標差的絕對值，得

1

2

x²+x-4=-4-x，求出x的值即可．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-2），
把B（0，-4）代入得，-4=a×（0+4）（0-2），解得a=

1

2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

（x+4）（x-2），即y=

1

2

x²+x-4；

（2）過點M作MD⊥x軸于點D，設M點的坐標為（m，n），
則AD=m+4，MD=-n，n=

1

2

m²+m-4，
∴S=S_△AMD+S_梯形DMBO-S_△ABO
=

1

2

(m+4)(-n)+

1

2

(-n+4)(-m)-

1

2

×4×4
=-2n-2m-8
=-2×（

1

2

m²+m-4）-2m-8
=-m²-4m
=-（m+2）²+4（-4＜m＜0）；
∴S_最大值=4．

（3）設P（x，

1

2

x²+x-4）．
①如圖1，當OB為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ∥OB，
∴Q的橫坐標等于P的橫坐標，
又∵直線的解析式為y=-x，
則Q（x，-x）．
由PQ=OB，得|-x-（

1

2

x²+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±2

5

．x=0不合題意，舍去．由此可得Q（-4，4）或（-2+2

5

，2-2

5

）或（-2-2

5

，2+2

5

）；

②如圖2，當BO為對角線時，知A與P應該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標為4，代入y=-x得出Q為（4，-4）．
故滿足題意的Q點的坐標有四個，分別是（-4，4），（4，-4），（-2+2

5

，2-2

5

），（-2-2

5

，2+2

5

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數(shù)最值的應用以及平行四邊形的判定和性質(zhì)；此題的難點在于（3）題，需要熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并且要考慮到各種情況才能做到不漏解．