Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，連接DP，過點(diǎn)A作AE⊥DP，垂足為E．
（1）連接AP，求證：S_△APD=S_矩形ABCD；
（2）設(shè)DP=y，AE=x，求y與x之間函數(shù)關(guān)系式；
（3）寫出自變量x的取值范圍，并求出y的最大值．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°，AB=CD
∵S_△APD=S_矩形ABCD-S_△ABP-S_△DPC=AB•BC-BP•AB-PC•DC
=AB•BC-（BP+PC）AB
=AB•BC-BC•AB
=AB•BC
又∵S_矩形ABCD=AB•BC
∴S_△APD=S_矩形ABCD；

（2）∵AE⊥PD
∴S_△APD=PD•AE
由（1）可知S_△APD=S_矩形ABCD=×3×4=6
∴xy=6
y=；

（3）當(dāng)B，P重合時(shí)x最短為：，當(dāng)P，C重合時(shí)，x最長為4，
則自變量x的取值范圍：
∵在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，y_最大=5．
分析：（1）設(shè)△APD中AD邊上的高為h，則h=AB=CD，S_△APD=•AD•h=•AD•AB=S_矩形ABCD；
（2）由（1）的結(jié)論易求關(guān)系式；
（3）當(dāng)P在B點(diǎn)位置時(shí)x最小，為；當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)x最大，為4，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求y的最大值．
點(diǎn)評：此題運(yùn)用了圖形的分割轉(zhuǎn)化思想；把幾何和函數(shù)性質(zhì)聯(lián)系起來很有創(chuàng)意．