解:(1)由題意可設拋物線的解析式為
y=a(x-2)
2+1
∵拋物線過原點,
∴0=a(0-2)
2+1,
∴
.
拋物線的解析式為y=-
(x-2)
2+1,
即y=-
x
2+x
(2)如圖1,當四邊形OCDB是平行四邊形時,CD=OB,
由0=-
(x-2)
2+1得x
1=0,x
2=4,
∴B(4,0),OB=4.
由于對稱軸x=2
∴D點的橫坐標為6.
將x=6代入y=-
(x-2)
2+1,得y=-3,
∴D(6,-3);
根據(jù)拋物線的對稱性可知,
在對稱軸的左側拋物線上存在點D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時D點的坐標為(-2,-3),
當四邊形OCBD是平行四邊形時,D點即為A點,此時D點的坐標為(2,1)
(3)不存在.
如圖2,由拋物線的對稱性可知:AO=AB,∠AOB=∠ABO.
若△BOP與△AOB相似,必須有∠POB=∠BOA=∠BPO
設OP交拋物線的對稱軸于A′點,顯然A′(2,-1)
∴直線OP的解析式為y=-
x
由-
x=-
x
2+x,得x
1=0,x
2=6.
∴P(6,-3)
過P作PE⊥x軸,在Rt△BEP中,BE=2,PE=3,
∴PB=
≠4.
∴PB≠OB,
∴∠BOP≠∠BPO,
∴△PBO與△BAO不相似,
同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點.
所以在該拋物線上不存在點P,使得△BOP與△AOB相似.
分析:(1)已知拋物線的頂點為A(2,1),設拋物線頂點式,把點O(0,0)代入即可求解析式;
(2)依題意得CD∥OB,CD=OB=4,又對稱軸x=2,故D點橫坐標x=6,代入拋物線解析式可求D點縱坐標,根據(jù)對稱軸可求滿足條件的點D′;
(3)根據(jù)拋物線對稱軸可知AO=AB,△AOB為等腰三角形,要使得△OBP與△OAB相似,則∠POB=∠BOA,A與A′對稱,可求直線OP的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立可求P點坐標,檢驗BP與OB是否相等.
點評:本題考查了二次函數(shù)解析式的求法,利用拋物線的性質(zhì)尋找平行四邊形,相似三角形等問題,需要根據(jù)拋物線的對稱性,形數(shù)結合,解答問題.