Question

如圖，直線L₁交直線L₂于y軸上一點(diǎn)A（0，6），交x軸上另一點(diǎn)C．l₂交x軸于另一點(diǎn)B，二次函數(shù)y=ax²-6ax-16a （a＞0）的圖象過(guò)B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段OC上由O向C移動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)，線段OP=t（1＜t＜8）
（1）t為何值時(shí)，P為圓心OP為半徑的圓與l₁相切？
（2）設(shè)拋物線對(duì)稱軸與直線l₁相交于M，請(qǐng)?jiān)趚軸上求一點(diǎn)N．使△AMN的周長(zhǎng)最小．
（3）設(shè)點(diǎn)Q是AC上自C向A移動(dòng)的一動(dòng)點(diǎn)，且CQ=OP=t．若△PQC的面積為s，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)△PQC為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)P作l₁的垂線，若⊙P與直線l₁相切，那么P到直線l₁的距離等于⊙P的半徑即OP的長(zhǎng)，然后通過(guò)構(gòu)建的相似三角形直接求出⊙P的半徑即可．
（2）取M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接該對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn)A，該直線與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)N．
（3）首先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后能求出PQ的長(zhǎng)；①以CP為底、Q的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高能得到關(guān)于s、t的函數(shù)關(guān)系式；②用t列出線段CP、CQ、PQ的長(zhǎng)，若△PQC為等腰三角形，可根據(jù)CP=CQ或CQ=PQ或CP=PQ三種情況列方程求出t的值．
解答：解：（1）拋物線的解析式中，當(dāng)y=0時(shí)，0=a（x²-6x-16），解得：x₁=-2，x₂=8；
∴B（-2，0）、C（8，0）．
過(guò)P作PD⊥AC于D，若⊙P與直線l₁相切，則 PD=OP=t；
易知Rt△CPD∽R(shí)t△CAO
∴=，即=
解得：t=3．

（2）由（1）知：拋物線的對(duì)稱軸 x=3；
由A（0，6）、C（8，0）得：直線AC y=-x+6，則 M（3，）．
△AMN中，AM長(zhǎng)為定值，若△AMN的周長(zhǎng)最小，那么 AN+MN 的值最�。�
取點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M'，則M'（3，-）；
設(shè)直線AM'的解析式為：y=kx+6，則：
3k+6=-，k=-
∴直線AM'：y=-x+6
當(dāng)y=0時(shí)，x=；即 N（，0）．

（3）過(guò)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E，則 QE=QE=t，CE=QC=t，OE=OC-CE=8-t；
∴Q（8-t，t）．
①PC=OC-OP=8-t；
則 S=PC•QE=×（8-t）×t=-t²+t（1＜t＜8）．
②PQ²=（8-t-t）²+（t）²=t²-t+64，PC²=（8-t）²=t²-16t+64，CQ²=t²；
當(dāng)PQ=PC時(shí)，t²-t+64=t²-16t+64，解得：t₁=0（舍去），t₂=；
當(dāng)PQ=CQ時(shí)，t²-t+64=t²，解得：t₁=8（舍去），t₂=；
當(dāng)PC=CQ時(shí)，t²-16t+64=t²，解得：t=4．
∴當(dāng)△PQC為等腰三角形時(shí)，t₁=、t₂=、t₃=4．
點(diǎn)評(píng)：該二次函數(shù)綜合題涵蓋了直線與圓的位置關(guān)系、圖形面積的求法以及等腰三角形的判定等知識(shí)．（3）題在判定等腰三角形時(shí)，要明確不同的腰和底進(jìn)行分類討論，以免漏解．