Question

已知：矩形OABC中，A（6，0），B（6，4），F(xiàn)為AB邊的中點(diǎn)，直線EF交邊BC于E，且sin∠BEF=

5

5

，P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OC于N．
（1）求直線EF的函數(shù)解析式并注明自變量取值范圍；
（2）求矩形ONPM的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）矩形ONPM、矩形OABC有可能相似嗎？若相似，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不相似，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A（6，0），B（6，4）兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可以得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用sin∠BEF=

5

5

，即可得出EF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BE的長(zhǎng)，即可得出E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線EF的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)矩形ONPM的面積為S，表示出OM，NO，再利用二次函數(shù)最值求出即可；
（3）利用矩形ONPM、矩形OABC相似時(shí)，對(duì)應(yīng)邊比值相等求出即可．

解答：解：（1）∵F為AB中點(diǎn)，AB=4，
∴AF=2，BF=2，F(xiàn)（6，2），
在Rt△BEF中，EF=

BF

sin∠BEF

=

2

5 5

=2

5

，
∴BE=

EF2-BF2

=

(2 5 )2-22

=4，
∴CE=6-4=2，
∴E（2，4），
設(shè)直線EF的函數(shù)解析式為y=kx+b，
把E（2，4）、F（6，2）分別代入
解得：k=-

1

2

，b=5，
∴直線EF的函數(shù)解析式為y=-

1

2

x+5（2≤x≤6）．

（2）設(shè)矩形ONPM的面積為S，
∵點(diǎn)P在直線y=-

1

2

x+5上，
∴OM=x，ON=y=-

1

2

x+5，
∴S=x(-

1

2

x+5)=-

1

2

(x-5)2+

25

2

，
∴矩形ONPM的面積S的最大值為

25

2

，
此時(shí)，x=5，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，

5

2

）．

（3）當(dāng)矩形ONPM、矩形OABC相似時(shí)，
有

ON

OC

=

OM

OA

或

ON

OA

=

OM

OC

，
∴

- 1 2 x+5

4

=

x

6

或

- 1 2 x+5

6

=

x

4

，
∴x=

30

7

或x=

5

2

，且滿足2≤x≤6，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

30

7

，

20

7

)或(

5

2

，

15

4

)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值和矩形的相似性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出E，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)以及根據(jù)二次函數(shù)最值得出是解決問題的關(guān)鍵．