Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

(1)當直線MN繞點C旋轉到圖①位置時，求證：DE=AD+BE；

(2)當直線MN繞點C旋轉到圖②位置時，試問：DE，AD，BE有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明.

(3)當直線MN繞點C旋轉到圖③位置時，DE，AD，BE之間的等量關系是 (直接寫出答案，不需證明.)

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AD-BE=DE，證明見解析；（3）BE-AD=DE.

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易證∠DAC和∠DCA互余，∠ECB和∠DCA互余，由此可得∠DAC=∠ECB，結合題中其它條件證△ADC和△CEB全等可得AD=CE，CD=BE，就可證得：DE=DC+CE=AD+BE；

（2）由（1）中思路證△ADC和△CEB全等可得AD=CE，CD=BE，從而可得：DE=CE-CD=AD-BE；

（3）同（2）中思路證△ADC和△CEB全等可得AD=CE，CD=BE，從而可得：DE=CD-CE=BE-AD.

試題解析：

（1）∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ADC和△CEB中： ，

∴△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，DC=BE，

又∵DE=DC+CE，

∴DE=AD+BE.

（2）如圖②，DE，AD，BE的關系為：DE=AD-BE.理由如下：

∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ADC和△CEB中： ，

∴△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，DC=BE，

又∵DE=CE-CD，

∴DE=AD-BE.

（3）如圖③，DE，AD，BE之間的等量關系是：DE=BE-AD，理由如下：

∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ADC和△CEB中： ，

∴△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，DC=BE，

又∵DE=CD-CE，

∴DE=BE-AD.