Question

已知：如圖，AB、AC、ED分別切⊙O于點(diǎn)B、C、D，且AC⊥DE于E，BC的延長(zhǎng)線交直線DE于點(diǎn)F．若BC=24，sin∠F=

3

5

．
（1）求EF的長(zhǎng)；
（2）試判斷直線AB與CD是否平行？若平行，給出證明；若不平行，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由sin∠F=

3

5

，設(shè)CE=3x，CF=5x，利用勾股定理可求EF，進(jìn)而可求ED，再利用切割線定理可解出x，從而求出EF；（2）AB與CD不平行，連接BD，利用弦切角定理可知∠CDF=∠DBF，再加上一組公共角，那么易證△BDF∽△DCF，利用（1）中求出的x，可求出CF、DF、DC、BD的長(zhǎng)，從而可以得出BD≠BC，即∠
BDC≠∠BCD，再結(jié)合弦切角定理可知∠ABC=∠BDC，從而得出∠ABC≠∠BCD，那么AB不平行于CD．

解答：解：（1）在Rt△CEF中，∠CEF=90°，
由sin∠F=

3

5

，設(shè)CE=3x，CF=5x，
由勾股定理得EF=4x，
∵ED、EC分別切⊙O于點(diǎn)D、C，
∴ED=EC=3x，
由切割線定理得FD²=FC•FB，即（7x）²=5x•（5x+24），
∴x²-5x=0，
∴x₁=5，x₂=0（不合題意，舍去），
∴EF=4x=20；（4分）

（2）AB與CD不平行，（5分）
連接BD，
∵ED切⊙O于點(diǎn)D，
∴∠CBD=∠CDF，
又∵∠F=∠F，
∴△BDF∽△DCF，
∴

BD

DC

=

DF

CF

，
∵CF=5x=25，DF=7x=35，
在等腰直角△CDE中，可求得DC=15

2

，
∴BD=21

2

，（7分）BC=24，
∴BD≠BC，
∴∠BDC≠∠BCD，
又∵AB切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠ABC=∠BDC，
∴∠ABC≠∠BCD，
∴AB與CD不平行．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題利用了三角函數(shù)值、勾股定理、切割線定理、弦切角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．
（要證兩直線不平行，即可證它們所夾的內(nèi)錯(cuò)角不相等）．