【題目】在矩形ABCD中,邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得點B落在CD邊上的點P處(如圖1).
(1)如圖2,設(shè)折痕與邊BC交于點O,連接,OP、OA.已知△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長;
(2)動點M在線段AP上(不與點P、A重合),動點N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連接MN、CA,交于點F,過點M作ME⊥BP于點E.
①在圖1中畫出圖形;
②在△OCP與△PDA的面積比為1:4不變的情況下,試問動點M、N在移動的過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?請你說明理由.
【答案】
(1)
解:如圖2,∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠C=∠D=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∵由折疊可得∠APO=∠B=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3,
又∵∠D=∠C,
∴△OCP∽△PDA,
∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,
∴ = = = ,
∴CP= AD=4,
設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,
在Rt△PCO中,∠C=90°,
由勾股定理得 x2=(8﹣x)2+42,
解得:x=5,
∴AB=AP=2OP=10,
∴邊AB的長為10;
(2)
解:①作圖如下:
;
②作MQ∥AN,交PB于點Q,如圖1.
∵AP=AB,MQ∥AN,
∴∠APB=∠ABP,∠ABP=∠MQP.
∴∠APB=∠MQP.
∴MP=MQ.
∵MP=MQ,ME⊥PQ,
∴PE=EQ= PQ.
∵BN=PM,MP=MQ,
∴BN=QM.
∵MQ∥AN,
∴∠QMF=∠BNF.
在△MFQ和△NFB中,
,
∴△MFQ≌△NFB.
∴QF=BF.
∴QF= QB.
∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB.
由(1)中的結(jié)論可得:
PC=4,BC=8,∠C=90°.
∴PB= =4 .
∴EF= PB=2 .
∴當(dāng)點M、N在移動過程中,線段EF的長度不變,長度為2 .
【解析】(1)根據(jù)相似三角形△OCP∽△PDA的性質(zhì)求出PC長以及AP與OP的關(guān)系,然后在Rt△PCO中運用勾股定理求出OP長,從而求出AB長;(2)①根據(jù)題意作出圖形;②由邊相等常常聯(lián)想到全等,但BN與PM所在的三角形并不全等,且這兩條線段的位置很不協(xié)調(diào),可通過作平行線構(gòu)造全等,然后運用三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)即可推出EF是PB的一半,只需求出PB長就可以求出EF長.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)畢業(yè)生響應(yīng)國家“自主創(chuàng)業(yè)”的號召,投資開辦了一個裝飾品商店,該店購進一種新上市的飾品進行了30天的試銷售,購進價格為40元/件.銷售結(jié)束后,得知日銷售量P(件)與銷售時間x(天)之間有如下關(guān)系:P=﹣2x+120(1≤x≤30,且x為整數(shù));銷售價格Q(元/件)與銷售時間x(天)之間有如下關(guān)系:Q= x+50(1≤x≤30,且x為整數(shù)).
(1)試求出該商店日銷售利潤w(元)與銷售時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在這30天的試銷售中,哪一天的日銷售利潤最大,哪一天的日銷售利潤最?并分別求出這個最大利潤和最小利潤.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓,OD∥BC,交⊙O于點D,交AC于點E,連接BD,BD交AC于點F,延長AC到點P,連接PB.
(1)若PF=PB,求證:PB是⊙O的切線;
(2)如果AB=10,BC=6,求CE的長度.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一點,過點D分別向AB、AC引垂線,垂足分別為點E、F.
(1)如圖①,當(dāng)點D在BC的什么位置時,DE=DF?并證明;
(2)在滿足第一問的條件下,連接AD,此時圖中共有幾對全等三角形?請寫出所有的全等三角形(不必證明);
(3)如圖②,過點C作AB邊上的高CG,請問DE、DF、CG的長之間存在怎樣的等量關(guān)系?并加以證明.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙P與y軸相切于點C,⊙P的半徑是4,直線y=x被⊙P截得的弦AB的長為4 ,求點P的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形ABC的底邊BC長為4,面積是16,腰AC的垂直平分線EF分別交AC,AB邊于E,F點若點D為BC邊的中點,點M為線段EF上一動點,則周長的最小值為
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點B,E,C,F(xiàn)在一條直線上,AB=DF,AC=DE,∠A=∠D.
(1)求證:AC∥DE;
(2)若BF=13,EC=5,求BC的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣ 與x軸、y軸分別交于點A、B;點Q是以C(0,﹣1)為圓心、1為半徑的圓上一動點,過Q點的切線交線段AB于點P,則線段PQ的最小是 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)知識后,數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們又進一步對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進行了探究.
(一)嘗試探究
如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠ABC=∠ADC=90°,點E、F分別在線段BC、CD上,∠EAF=30°,連接EF.
(1)如圖2,將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△A′B′E′(A′B′與AD重合),請直接寫出∠E′AF=度,線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)如圖3,當(dāng)點E、F分別在線段BC、CD的延長線上時,其他條件不變,請?zhí)骄烤段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com