如圖①,將一個(gè)量角器與一張等腰三角形(△ABC)紙片放置成軸對(duì)稱圖形.∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,半圓(量角器)的圓心與點(diǎn)D重合,測(cè)得CE=5 cm;將量角器沿DC方向平移2 cm,半圓(量角器)恰與△ABC的邊AC,BC相切,如圖②.則AB的邊長(zhǎng)為________cm.(精確到0.1 cm)
分析:如圖,設(shè)圖②中半圓的圓心為O,與BC的切點(diǎn)為M,連接OM,根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到∠OMC=90°,而根據(jù)已知條件可以得到∠DCB=45°,設(shè)AB為2x,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD=BD=x,而CE=5 cm,又將量角器沿DC方向平移2 cm,由此得到半圓的半徑為x-5,OC=x-2,然后在Rt△OCM中利用三角函數(shù)可以列出關(guān)于x的方程,解方程即可求解. 解答:解:如圖,設(shè)圖②中半圓的圓心為O,與BC的切點(diǎn)為M, 連接OM, 則OM⊥MC, ∴∠OMC=90°, 依題意知道∠DCB=45°, 設(shè)AB為2x, ∵△ABC是等腰直角三角形, ∴CD=BD=x, 而CE=5 cm,又將量角器沿DC方向平移2 cm, ∴半圓的半徑為x-5,OC=x-2, ∴sin∠DCB= ∴ ∴x= ∴AB=2x=2× 點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的切線性質(zhì),及解直角三角形的知識(shí).運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn),利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題. |
切線的性質(zhì);勾股定理;等腰直角三角形;平移的性質(zhì). |
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