Question

如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點（B，C兩點除外）．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）求△ABC面積的最大值．
（參考數(shù)據(jù)：，，．）

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，OC，過O作OD⊥BC，利用垂徑定理得到D為BC的中點，求出BD的長，在直角三角形BOD中，利用勾股定理求出OD的長，得到OD等于OB的一半，利用直角三角形中直角邊等于斜邊的一半，可得出此直角邊所對的角為30度，利用等邊對等角得到一對角相等，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)，最后利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可求出∠BAC的度數(shù)；
（2）當(dāng)AB=AC，即三角形ABC為等邊三角形時，面積最大，由BC的長求出最大面積即可．
解答：解：（1）連接OB，OC，過O作OD⊥BC，可得D為BC的中點，即BD=CD=BC=，
在Rt△OBD中，OB=2，BD=，
根據(jù)勾股定理得：OD==1，
∴OD=OB，
∴∠OBC=30°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
∵∠BAC與∠BOC都對，
∴∠BAC=∠BOC=60°；

（2）當(dāng)AB=AC，即△ABC為等邊三角形時，面積最大，
此時面積為×（2）²=3．
點評：此題考查了垂徑定理，圓周角定理，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．