Question

【題目】如圖,為的直徑,是上的一點,過點的直線交的延長線于點, ,垂足為,是與的交點,平分

（1）求證：是的切線

（2）若, ,求圖中陰影部分的面積

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）陰影部分的面積為8-

【解析】

（1）連接OC，先證明∠OAC=∠OCA，進而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，進而證明DE是⊙O的切線；
（2）分別求出△OCD的面積和扇形OBC的面積，利用S陰影=S△COD-S扇形OBC即可得到答案．

（1）連接OC,

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

∵AC平分∠BAE,

∴∠OAC=∠CAE,

∴∠OCA=∠CAE,

∴OC∥AE,

∴∠OCD=∠E,

∵AE⊥DE,

∴∠E=90°,

∴∠OCD=90°,

∴OC⊥CD,

∵點C在圓O上,OC為圓O的半徑,

∴CD是圓O的切線；

（2）在Rt△AED中,

∵∠D=30°,AE=6,

∴AD=2AE=12,

在Rt△OCD中,∵∠D=30°,

∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC,

∴DB=OB=OC=AD=4,DO=8,

∴CD=

∴S△OCD=

∵∠D=30°,∠OCD=90°,

∴∠DOC=60°,

∴S扇形OBC=×π×OC2=π,

∵S陰影=S△COD-S扇形OBC

∴S陰影=8-,

∴陰影部分的面積為8-