【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AE平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)E做直線l∥BC.
(1)判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F,求證:BE=EF;
(3)在(2)的條件下,若DE=4,DF=3,求AF的長.
【答案】(1)直線l與⊙O相切;(2)證明見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)連接OE、OB、OC.由題意可證明,于是得到∠BOE=∠COE,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證明OE⊥BC,于是可證明OE⊥l,故此可證明直線l與⊙O相切;
(2)先由角平分線的定義可知∠ABF=∠CBF,然后再證明∠CBE=∠BAF,于是可得到∠EBF=∠EFB,最后依據(jù)等角對(duì)等邊證明BE=EF即可;
(3)先求得BE的長,然后證明△BED∽△AEB,由相似三角形的性質(zhì)可求得AE的長,于是可得到AF的長.
試題解析:(1)直線l與⊙O相切.理由如下:
如圖1所示:連接OE、OB、OC.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE.
∴.
∴∠BOE=∠COE.
又∵OB=OC,
∴OE⊥BC.
∵l∥BC,
∴OE⊥l.
∴直線l與⊙O相切.
(2)∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF.
又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,
∴∠EBF=∠EFB.
∴BE=EF.
(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=7.
∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,
∴△BED∽△AEB.
∴,即,解得;AE=,
∴AF=AE﹣EF=﹣7=.
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