Question

（本題滿分12分）

如圖，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線并在其上取一點C，連接OC交⊙O于點D．

（1）如圖1，連接BD并延長BD交AC于點E，連接AD．

①證明：△CDE∽△CAD；

②若AB＝2，AC＝．求CD和CE的長；

（2）如圖2，過點C作⊙O的另一條切線，切點為F，連結(jié)AF、BF，若OC＝BF，求的值．

Answer 1

(1)①證明見試題解析；②CD=2，CE=；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由AC是⊙O的切線，得到∠1+∠BAD=90°，又由AB是⊙O的直徑，得到∠B+∠BAD=90°，故有∠1=∠B，又由OB=OD，得到∠2=∠B，又因∠2=∠3，得到∠3=∠B，得到∠1=∠3，由∠C=∠C，得到△CDE∽△CAD；

（2）在Rt△AOC中，算出OC，進而算出CD的長，由△CDE∽△CAD，得到，解出CE的長；

（3）由△ABF∽△COA，得到，故，又OC=BF，AB=2r，OA=r，得到，得到BF=，OC=3r，在Rt△COA中，由勾股定理求出CA的長，再算．

試題解析：（1）證明：∵AC是⊙O的切線，∴∠1+∠BAD=90°，又∵AB是⊙O的直徑，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠1=∠B，又∵OB=OD，∴∠2=∠B，又∵∠2=∠3，∴∠3=∠B，∴∠1=∠3，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD；

（2）在Rt△AOC中，OC=，∴CD=OC－OD=3－1=2，∵△CDE∽△CAD，∴，即，∴CE=；

（3）由△ABF∽△COA，∴，∴，又OC=BF，AB=2r，OA=r（r為⊙O的半徑），∴，∴BF=，OC=3r，在Rt△COA中，由勾股定理知：CA=，∴．

考點：圓的綜合題．