Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，DG為△ABC的中位線．如圖，E為線段DC上任意一點，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到DF，連接CF，過點F作FH⊥FC，交直線AB于點H．求證：FH=FC．

Answer 1

分析：利用DG為△ABC的中位線，和等腰直角三角形△DEF與△ADG的性質，證得△CEF≌△FGH，得出結論即可．

解答：證明：如圖，

∵DG為△ABC的中位線，
∴DG=

1

2

BC．
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC-DE=DG-DF．
即EC=FG．
∵∠EDF=90°，F(xiàn)H⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°．
∴∠1=∠2．
∵△DEF與△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
∴△CEF≌△FGH；
∴CF=FH．

點評：此題考查三角形的中位線、等腰直角三角形的性質、等角的余角相等、三角形全等的判定與性質等知識點．