Question

設(shè)a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，a₃=7²-5²…
（1）寫(xiě)出a_n（n為大于0的自然數(shù)）的表達(dá)式；
（2）探究a_n是否為8的倍數(shù)，并用文字語(yǔ)言表述你所獲得的結(jié)論；
（3）若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”，試找出a₁，a₂，a₃，…，a_n這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)；并說(shuō)出當(dāng)n滿足什么條件時(shí)，a_n為完全平方數(shù)（不必說(shuō)明理由）．

Answer 1

分析：（1）首先觀察a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，a₃=7²-5²，即可求得a_n=（2n+1）²-（2n-1）²；
（2）利用平方差公式即可求得a_n=8n，即第n個(gè)數(shù)a_n的值是n的8倍；
（3）根據(jù)從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)是16，64，144，256，得出n為一個(gè)完全平方數(shù)的2倍時(shí)，a_n為完全平方數(shù)．

解答：解：（1）a_n=（2n+1）²-（2n-1）²；
（2）∵a_n=（2n+1）²-（2n-1）²=8n，n為非零的自然數(shù)
∴a_n是8的倍數(shù)；
文字語(yǔ)言：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)；
（3）這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)是16，64，144，256；
n為一個(gè)完全平方數(shù)的2倍時(shí)，a_n為完全平方數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了數(shù)字的規(guī)律性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找到規(guī)律：a_n=（2n+1）²-（2n-1）²．