Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與坐標原點重合，點C的坐標為（0，3），點A在x軸的負半軸上，點D、M分別在邊AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函數y=kx+b的圖象過點D和M，反比例函數的圖象經過點D，與BC的交點為N．

（1）求反比例函數和一次函數的表達式；

（2）若點P在直線DM上，且使△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1），y=﹣x﹣1；（2）P為（﹣10，9）或（8，﹣9）．

【解析】

試題分析：（1）由正方形OABC的頂點C坐標，確定出邊長，及四個角為直角，根據AD=2DB，求出AD的長，確定出D坐標，代入反比例解析式求出m的值，再由AM=2MO，確定出MO的長，即M坐標，將M與D坐標代入一次函數解析式求出k與b的值，即可確定出一次函數解析式；

（2）把y=3代入反比例解析式求出x的值，確定出N坐標，得到NC的長，設P（x，y），根據△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，求出y的值，進而得到x的值，確定出P坐標即可．

試題解析：（1）∵正方形OABC的頂點C（0，3），∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，∵AD=2DB，∴AD=AB=2，∴D（﹣3，2），把D坐標代入得：m=﹣6，∴反比例解析式為，∵AM=2MO，∴MO=OA=1，即M（﹣1，0），把M與D坐標代入y=kx+b中得：，解得：k=b=﹣1，則直線DM解析式為y=﹣x﹣1；

（2）把y=3代入得：x=﹣2，∴N（﹣2，3），即NC=2，設P（x，y），∵△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，∴（OM+NC）OC=OM|y|，即|y|=9，解得：y=±9，當y=9時，x=﹣10，當y=﹣9時，x=8，則P坐標為（﹣10，9）或（8，﹣9）．