Question

【題目】【提出問題】如圖1，小東將一張AD為12，寬AB為4的長方形紙片按如下方式進行折疊：在紙片的一邊BC上分別取點P、Q，使得BP=CQ，連結(jié)AP、DQ，將△ABP、△DCQ分別沿AP、DQ折疊得△APM，△DQN，連結(jié)MN．小東發(fā)現(xiàn)線段MN的位置和長度隨著點P、Q的位置發(fā)生改變．

（1）【規(guī)律探索】請在圖1中過點M，N分別畫ME⊥BC于點E，NF⊥BC于點F．
求證：①ME=NF；②MN∥BC．
（2）【解決問題】如圖1，若BP=3，求線段MN的長；
（3）如圖2，當(dāng)點P與點Q重合時，求MN的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，AB=CD．

∵在△ABP和△DCQ中，

，

∴△ABP≌△DCQ，

∴∠APB=∠DQG．

∴∠MPE=180°﹣2∠APB=180°﹣2∠DQC=∠NQF．

∴在△MEP和△NPQ中，

，

∴△MEP≌△NPQ，

∴ME=NF；

②∵ME∥NF，ME=NF，

∴四邊形EFMN是矩形，

∴MN∥BC

（2）解：延長EM、FN交AD于點G、H．

∵AB=4，BP=3，

∴AM=4，PM=3．

∵AD∥BC，

∴EM⊥AD．

∵∠AMP=∠MEP=∠MGA，

∴∠EMP=∠MAG．

∴△EMP∽△MAG．

∴ ，

設(shè)AG=4a，MG=3b．

∵四邊形ABEG是矩形，

∴ ，

解得： c，

∴AG= ，同理DH= ．

∴MN=

（3）解：設(shè)PM、PN分別交AD于點E、F．

∵∠EPA=∠APB=∠PAE，

∴EA=EP．

設(shè)EA=EP=x，

在直角△AME中，42+（6﹣x）2=x2，

解得：x= ．

∴EF=12﹣2× = ．

∵EF∥MN，

∴△PEF∽△PMN．

∴ ，即 ，

解得：MN=

【解析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，四邊形ABCD是矩形，得到對邊相等，四角都是90°，得到△ABP≌△DCQ，△MEP≌△NPQ，得到ME=NF，MN∥BC；（2）由已知條件得到△EMP∽△MAG，得到比例，求出線段MN的長；（3）根據(jù)勾股定理求出EF的長，由EF∥MN，得到△PEF∽△PMN，得到比例，求出MN的值.
【考點精析】掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．