Question

已知：關于x的方程mx²-14x-7=0有兩個實數根x₁和x₂，關于y的方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有兩個實數根y₁和y₂，且-2≤y₁＜y₂≤4．當

2

x1+x2

-

6

x1x2

+2（2y₁-y₂²）+14=0時，求m的取值范圍．

Answer 1

∵方程mx²-14x-7=0有兩個實數根，則△=196+28m≥0，
∴m≥-7，且m≠0，①
∵方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有兩個實數根，則△=4（n-1）²-4（n²-2n）=4＞0，
分解因式得，（y-n+2）（y-n）=0，
∴y₁=n-2，y₂=n，
∵-2≤y₁＜y₂≤4，
∴-2≤n-2＜n≤4，
解得，0≤n≤4，
∵x₁+x₂=

14

m

，x₁x₂=-

7

m

，
∴

2

x1+x2

-

6

x1x2

+2（2y₁-y₂²）+14=0變形為

m

7

+

6m

7

+2[2（n-2）-n²]+14=0，
化簡得，m=2n²-4n-6．
由二次函數的圖象知，
當0≤n≤4時，-8≤m≤10，②
由①②得：-7≤m≤10，且m≠0．