Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，E是邊BC上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．

（1）若AE＝DA，求證：△ABE≌△DFA．

（2）若AB＝6，AD＝8，且E為BC中點(diǎn)．

①如圖2，連接CF，求sin∠DCF的值．

②如圖3，連接AC交DF于點(diǎn)M，求CM：AM的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②

【解析】

（1）根據(jù)AAS證明三角形全等即可；
（2）①如圖2中，過點(diǎn)F作FH⊥CD于H，FJ⊥AD于J．利用相似三角形的性質(zhì)求出AF，DF，解直角三角形求出FJ，DJ，CH，FH即可解決問題；
②如圖3中，延長(zhǎng)DF交CB的延長(zhǎng)線于K．利用相似三角形的性質(zhì)求出KE，再利用平行線分線段成比例定理求解即可．

（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，AD∥BC，

∴∠DAF＝∠AEB，

∵DF⊥AE，

∴∠B＝∠AFD＝90°，

在△ABE和△DFA中

，

∴△ABE≌△DFA（AAS）．

（2）①解：如圖2中，過點(diǎn)F作FH⊥CD于H，FJ⊥AD于J．

∵四邊形ABCD是矩形，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，

∴∠B＝90°，

∵BE＝EC＝4，

∴AE＝＝＝2，

∵∠DAF＝∠AEB，∠B＝∠AFD＝90°，

∴△ABE∽△DFA，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴DF＝，AF＝，

∵FJ⊥AD，

∴FJ＝DH＝＝，DJ＝FH＝＝＝，

∴CH＝CD﹣DH＝6﹣＝，

∴CF＝＝＝6，

∴sin∠DCF＝＝＝．

②解：如圖3中，延長(zhǎng)DF交CB的延長(zhǎng)線于K．

∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，

∴△KEF∽△AEB，

∴＝，

∴＝，

∴KE＝5，

∴CK＝KE+EC＝9，

∵AD∥CK，

∴＝＝．