Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），直線與軸相交于點(diǎn)，連結(jié)，拋物線從點(diǎn)沿方向平移，與直線交于點(diǎn)，頂點(diǎn)到點(diǎn)時停止移動．

（1）求線段所在直線的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)為何值時，線段最短；
（3）當(dāng)線段最短時，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使△的面積與△的面積相等，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時，PB最短；（3）拋物線上存在點(diǎn)，
使△與△的面積相等.

解析試題分析：解：（1）設(shè)所在直線的函數(shù)解析式為，
∵（2，4），∴, ,
∴所在直線的函數(shù)解析式為. 2分
（2）∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，且在線段上移動，
∴（0≤≤2）.
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).
∴拋物線函數(shù)解析式為
∴當(dāng)時，（0≤≤2）.
∴， 又∵0≤≤2，
∴當(dāng)時，PB最短.         6分
（3）當(dāng)線段最短時，此時拋物線的解析式為.
假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)，使. 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）.
①當(dāng)點(diǎn)落在直線的下方時，過作直線//，交軸于點(diǎn)，
∵，，
∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，）.
∵點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，3），∴直線的函數(shù)解析式為.
∵，∴點(diǎn)落在直線上.
∴=.解得，即點(diǎn)（2，3）.
∴點(diǎn)與點(diǎn)重合.
∴此時拋物線上不存在點(diǎn)，使△與△的面積相等.  7分
②當(dāng)點(diǎn)落在直線的上方時，
作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱稱點(diǎn)，過作直線//，交軸于點(diǎn)，
∵，∴，
∴、E、D的坐標(biāo)分別是（0，1），（2，5），
∴直線函數(shù)解析式為.
∵，∴點(diǎn)落在直線上.
∴=.
解得：，.
代入