如圖所示,平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(0,4)、B(-2,0)、C(6,0).過點A作AD∥x軸交拋物線于點D,過點D作DE⊥x軸,垂足為點E.點M是四邊形OADE的對角線的交點,點F在y軸負半軸上,且F(0,-2).
(1)求拋物線的解析式,并直接寫出四邊形OADE的形狀;
(2)當點P、Q從C、F兩點同時出發(fā),均以每秒1個長度單位的速度沿CB、FA方向運動,點P運動到O時P、Q兩點同時停止運動.設(shè)運動的時間為t秒,在運動過程中,以P、Q、O、M四點為頂點的四邊形的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)在拋物線上是否存在點N,使以B、C、F、N為頂點的四邊形是梯形?若存在,直接寫出點N的坐標;不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(0,4)、B(-2,0)、C(6,0)三點,把三點坐標代入拋物線表達式中,聯(lián)立方程解出a、b、c.
(2)過M作MN⊥OE于N,則MN=2,由題意可知CP=FQ=t,當0≤t<2時,OP=6-t,OQ=2-t,列出S與t的關(guān)系式,當t=2時,Q與O重合,點M、O、P、Q不能構(gòu)成四邊形,當2<t<6時,連接MO,ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°,可證三角形全等,進而計算出三角形面積.
(3)若B、C、F、N為頂點的四邊形是梯形,則四邊形有兩邊平行,設(shè)出N點的坐標,分類討論兩邊平行時N點坐標滿足的條件,進而求出N點坐標.
解答:解:(1)∵拋物線經(jīng)過A(0,4)、B(-2,0)、C(6,0),
∴c=4,
,
解得a=-,b=,c=4.
∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4.
四邊形OADE為正方形.

(2)連接MQ.
根據(jù)題意,可知OE=OA=4,OC=6OB=OF=2,
∴CE=2,
∴CO=FA=6,
∵運動的時間為t,
∴CP=FQ=t,
過M作MN⊥OE于N,則MN=2,
當0≤t<2時,OP=6-t,OQ=2-t,
∴S=S△OPQ+S△OPM=(6-t)×2+(6-t)(2-t)=(6-t)(4-t),
∴S=t2-5t+12.
當t=2時,Q與O重合,點M、O、P、Q不能構(gòu)成四邊形,
當2<t<6時,連接MO,ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°,
∵FQ=CP=t,F(xiàn)O=CE=2,
∴OQ=EP,
∴△QOM≌△PEM,
∴四邊形OPMQ的面積S=S△MOE=×4×2=4,
綜上所述,當0≤t<2時,S=t2-5t+12;當2<t<6時,S=4.

(3)分三種情況:
①以BF為底邊時,經(jīng)過點C作BF的平行線,與拋物線交于點N的坐標為(1,5);
②以CF為底邊時,經(jīng)過點B作CF的平行線,與拋物線交于點N的坐標為(5,);
③以BC為底邊時,經(jīng)過點F作BC的平行線,與拋物線交于點N的坐標為(2+,-2)或(2-,-2).
故在拋物線上存在點N1(1,5),N2(5,),N3(2+,-2),N4(2-,-2),
使以B、C、F、N為頂點的四邊形是梯形.
點評:本題是二次函數(shù)的綜合題,考查的知識點也很多,要求會求拋物線的表達式,會運用分別類討論思想,此題有一定的難度,做題時不能粗心大意.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:同步輕松練習(xí) 八年級 數(shù)學(xué) 上 題型:059

學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2張方桌拼成一行能坐6人(如圖)

(1)按照這種規(guī)定填寫下表:

(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),將s作為縱坐標,n作為橫坐標,在如圖所示的平面直角坐標系中找出相應(yīng)各點.

(3)請你猜一猜上述各點會在某一個函數(shù)圖象上嗎?如果在某一函數(shù)圖象上,求出該函數(shù)的解析式,并利用你探求的結(jié)果,求出當n=10時,s的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:022

線段AB,CD在平面直角坐標系中的位置如圖所示,O為坐 標原點.若線段AB上一點P的坐標為(a,b),則直線OP與線段CD的交點坐標為     

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年山西省九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

在平面直角坐標系中,現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在兩坐上,且點A(0,2),點C(,0),如圖所示:拋物線經(jīng)過點B。

(1)求點B的坐標;

(2)求拋物線的解析式;

(3)在拋物線上是否還存在點P(點B除外),使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求所有點P的坐標;若不存在,請說明理由。

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:專項題 題型:填空題

線段AB、CD在平面直角坐標系中的位置如圖所示,O為坐原點,若線段AB上一點P的坐標為(a,b),則直線OP與線段CD的交點的坐標為(    )。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

線段AB,CD在平面直角坐標系中的位置如圖所示,O為坐    標原點.若線段AB上一點P的坐標為(a,b),則直線OP與線段CD的交點坐標為       .

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