![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/53643ce450951.png)
解:(1)如圖①,在Rt△ABC中,
AC=6,BC=8
∴AB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/260499.png)
.
∵D、E分別是AC、AB的中點.
AD=DC=3,AE=EB=5,DE∥BC且
DE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
BC=4
∵PQ⊥AB,
∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC
∴∠AED=∠B
∴△PQE∽△ACB
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/557770.png)
由題意得:PE=4-t,QE=2t-5,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/557771.png)
,
解得t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/242283.png)
;
(2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/53643ce45ed66.png)
如圖②,過點P作PM⊥AB于M,
由△PME∽△ACB,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/557772.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/557773.png)
,得PM=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14.png)
(4-t).
S
△PQE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
EQ•PM=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
(5-2t)•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14.png)
(4-t)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14.png)
t
2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/28776.png)
t+6,
S
梯形DCBE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×(4+8)×3=18,
∴y=18-(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14.png)
t
2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/28776.png)
t+6)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1232.png)
t
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/28776.png)
t+12.
(3)假設存在時刻t,使S
△PQE:S
五邊形PQBCD=1:29,
則此時S
△PQE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3660.png)
S
梯形DCBE,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14.png)
t
2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/28776.png)
t+6=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3660.png)
×18,
即2t
2-13t+18=0,
解得t
1=2,t
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/190.png)
(舍去).
當t=2時,
PM=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14.png)
×(4-2)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/15.png)
,ME=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/602.png)
×(4-2)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2919.png)
,
EQ=5-2×2=1,MQ=ME+EQ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2919.png)
+1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24927.png)
,
∴PQ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/557774.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/557775.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/557776.png)
.
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
PQ•h=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14.png)
,
∴h=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/15.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/557777.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/557778.png)
(或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/557779.png)
).
分析:(1)如圖①所示,當PQ⊥AB時,△PQE是直角三角形.解決問題的要點是將△PQE的三邊長PE、QE、PQ用時間t表示,這需要利用相似三角形(△PQE∽△ACB)比例線段關系(或三角函數(shù));
(2)本問關鍵是利用等式“五邊形PQBCD的面積=四邊形DCBE的面積-△PQE的面積”,如圖②所示.為求△PQE的面積,需要求出QE邊上的高,因此過P點作QE邊上的高,利用相似關系(△PME∽△ABC)求出高的表達式,從而問題解決;
(3)本問要點是根據(jù)題意,列出一元二次方程并求解.假設存在時刻t,使S
△PQE:S
五邊形PQBCD=1:29,則此時S
△PQE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3660.png)
S
梯形DCBE,由此可列出一元二次方程,解方程即求得時刻t;點E到PQ的距離h利用△PQE的面積公式得到.
點評:本題是動點型綜合題,解題關鍵是掌握動點運動過程中的圖形形狀、圖形面積的表示方法.所考查的知識點涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理、解方程(包括一元一次方程和一元二次方程)等,有一定的難度.注意題中求時刻t的方法:最終都是轉化為一元一次方程或一元二次方程求解.