Question

如圖，在銳角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面積為48，D，E分別是邊AB，AC上的兩個動點(diǎn)（D不與A，B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形DEFG。

（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時，求正方形DEFG的邊長；
（2）設(shè)DE=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍，并求出y的最大值。

Answer 1

解：（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時，如圖（1），過點(diǎn)A作BC邊上的高AM，交DE于N，垂足為M ∵S△ABC=48，BC=12， ∴AM=8 ∵DE∥BC，△ADE∽△ABC ∴ 而AN=AM-MN=AM-DE ∴ 解之得 ∴當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時，正方形DEFG的邊長為4.8。
（2）分兩種情況： ①當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時，如圖（2）， △ABC 與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積， ∵DE=x， ∴，此時x的范圍是0＜x≤4.8。
②當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，如圖（3）， 設(shè)DG與BC交于點(diǎn)Q，EF與BC交于點(diǎn)P， △ABC的高AM交DE于N， ∵DE=x，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC 即 而AN=AM-MN=AM-EP ∴ 解得 所以 即 由題意，x>4.8，x＜12， 所以 因此△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為 當(dāng)0＜x≤4.8時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為4.82=23.04 當(dāng)時，因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/c02/20111223/201112231330486401036.gif"> 所以當(dāng)時 △ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為 因?yàn)?4>23.04， 所以△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24。