Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，E為BC上一點，將正方形折疊，使A點與E點重合，折痕為MN．若tan∠AEN=

1

3

，DC+CE=10．
（1）求BE的長；
（2）求△ANE的面積；
（3）求sin∠ENB的值．

Answer 1

分析：（1）先由tan∠AEN=

1

3

，DC+CE=10可得出BE=

1

3

AB，在歐翻折變換的性質(zhì)得出∠AEN=∠EAN，所以可以先設(shè)BE=a，從而求出AB=3a，CE=2a進而求出a的值，求出BE的長；
（2）由（1）中a的值可得出AB=6，CE=4．求出底AD的長，然后再由tan∠AEN與邊的關(guān)系，求出高，最后利用面積公式求面積；
（3）sin∠ENB的值用正弦定義求即可．

解答：解：（1）由折疊可知：MN為AE的垂直平分線，
∴AN=EN，
∴∠EAN=∠AEN（等邊對等角），
∴tan∠AEN=tan∠EAN=

1

3

，
∴設(shè)BE=a，AB=3a，則CE=2a，
∵DC+CE=10，
∴3a+2a=10，
∴a=2，
∴BE=2；

（2）∵由（1）知a=2，
∴AB=6，CE=4，
∵AE=

4+36

=2

10

，
∴EG=

1

2

AE=

1

2

×2

10

=

10

，
又∵

NG

GE

=

1

3

，
∴NG=

10

3

，
∴AN=

( 10 )2+( 10 3 )2

=

10

3

，
∴AN=NE=

10

3

，
∴S_△ANE=

1

2

×

10

3

×2=

10

3

；

（3）∵Rt△ENB中，EB=2，NE=

10

3

，
∴sin∠ENB=

EB

NE

=

2

10 3

=

3

5

．

點評：本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．