Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三點(diǎn)．
（1）求拋物線解析式；
（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△MOA的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值，這個(gè)最大值是多少？
（3）若點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，過Q做y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P，判斷有幾個(gè)Q能使以點(diǎn)P，Q，B，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，然后把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）利用拋物線的解析式表示出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)M到x軸的距離，然后根據(jù)三角形面積公式表示并整理即可得解，根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出第三象限內(nèi)二次函數(shù)的最值，然后即可得解；
（3）利用直線與拋物線的解析式表示出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，然后求出PQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等列出算式，然后解關(guān)于x的一元二次方程即可得解．
解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線經(jīng)過A（-4，0），B（0，-4），C（2，0），
∴，
解得，
∴拋物線解析式為y=x²+x-4；

（2）∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為m²+m-4，
又∵A（-4，0），
∴AO=0-（-4）=4，
∴S=×4×|m²+m-4|=-（m²+2m-8）=-m²-2m+8，
∵S=-（m²+2m-8）=-（m+1）²+9，點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)m=-1時(shí)，S有最大值，最大值為S=9；
故答案為：S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為S=-m²-2m+8，當(dāng)m=-1時(shí)，S有最大值9；

（3）∵點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，-a），
∵點(diǎn)P在拋物線上，且PQ∥y軸，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a²+a-4），
∴PQ=-a-（a²+a-4）=-a²-2a+4，
又∵OB=0-（-4）=4，
以點(diǎn)P，Q，B，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴|PQ|=OB，
即|-a²-2a+4|=4，
①-a²-2a+4=4時(shí)，整理得，a²+4a=0，
解得a=0（舍去）或a=-4，
-a=4，
所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-4，4），
②-a²-2a+4=-4時(shí)，整理得，a²+4a-16=0，
解得a=-2±2，
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2），
綜上所述，Q坐標(biāo)為（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）時(shí)，使點(diǎn)P，Q，B，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的最值問題，平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離的表示，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，仔細(xì)分析便不難求解．