Question

（1）操作發(fā)現：如圖①，D是等邊△ABC邊BA上一動點（點D與點B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF，連接AF．你能發(fā)現線段AF與BD之間的數量關系嗎？并證明你發(fā)現的結論．

（2）類比猜想：如圖②，當動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時，其他作法與（1）相同，猜想AF與BD在（1）中的結論是否仍然成立？

（3）深入探究：

Ⅰ．如圖③，當動點D在等邊△ABC邊BA上運動時（點D與點B不重合）連接DC，以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF、BF′，探究AF、BF′與AB有何數量關系？并證明你探究的結論．

Ⅱ．如圖④，當動點D在等邊△邊BA的延長線上運動時，其他作法與圖③相同，Ⅰ中的結論是否成立？若不成立，是否有新的結論？并證明你得出的結論．

Answer 1

考點：

全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質。

專題：

幾何綜合題。

分析：

（1）根據等邊三角形的三條邊、三個內角都相等的性質，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的對應邊相等知AF=BD；

（2）通過證明△BCD≌△ACF，即可證明AF=BD；

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的對應邊BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，所以AF+BF′=AB；

Ⅱ．Ⅰ中的結論不成立．新的結論是AF=AB+BF′；通過證明△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD（全等三角形的對應邊相等）；再結合（2）中的結論即可證得AF=AB+BF′．

解答：

解：（1）AF=BD；

證明如下：∵△ABC是等邊三角形（已知），

∴BC=AC，∠BCA=60°（等邊三角形的性質）；

同理知，DC=CF，∠DCF=60°；

∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF；

在△BCD和△ACF中，

，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD=AF（全等三角形的對應邊相等）；

（2）證明過程同（1），證得△BCD≌△ACF（SAS），則AF=BD（全等三角形的對應邊相等），所以，當動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時，其他作法與（1）相同，AF=BD仍然成立；

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；

證明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），則BD=AF；

同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，

∴AF+BF′=BD+AD=AB；

Ⅱ．Ⅰ中的結論不成立．新的結論是AF=AB+BF′；

證明如下：在△BCF′和△ACD中，

，

∴△BCF′≌△ACD（SAS），

∴BF′=AD（全等三角形的對應邊相等）；

又由（2）知，AF=BD；

∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質．等邊三角形的三條邊都相等，三個內角都是60°．