Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD，E為AD的中點(diǎn)，異面直線AP與CD所成的角為90°．
（Ⅰ）證明：△PBE是直角三角形；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：如圖，
∵AD∥BC，AD=2BC，∴四邊形ABCD為梯形，則AB與DC相交．
∵∠PAB=90°，∴PA⊥AB，
又異面直線AP與CD所成的角為90°，∴PA⊥CD．
∴PA⊥平面ABCD，則PA⊥BE．
∵AD∥BC，BC= ，
∴四邊形BCDE為平行四邊形，則BE∥CD．
∵∠ADC=90°，∴CD⊥AD，
∴BE⊥AD．
由BE⊥PA，BE⊥AD，PA∩AD=A，得BE⊥平面PAD，
∴BE⊥PE，則△PBE是直角三角形；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，則∠PDA為二面角P﹣CD﹣A的平面角為45°，
設(shè)BC=1，則AD=PA=2．
在平面ABCD中，過A作Ay⊥AD．
以A為原點(diǎn)，分別以AD、Ay、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則E（1，0，0），P（0，0，2），C（2，1，0）．
．
設(shè)平面PEC的一個(gè)法向量為 ．
由 ，得 ，取z=1，得 ．
由圖可知，平面PAE的一個(gè)法向量為 ．
∴cos＜ ＞= ．
∴二面角A﹣PE﹣C的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）由已知證明PA⊥平面ABCD，得PA⊥BE．再由已知證明四邊形BCDE為平行四邊形，得BE∥CD．結(jié)合CD⊥AD，得BE⊥AD．再由線面垂直的判定得BE⊥平面PAD，進(jìn)一步得到BE⊥PE，得到△PBE是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，則∠PDA為二面角P﹣CD﹣A的平面角為45°，設(shè)BC=1，得AD=PA=2．在平面ABCD中，過A作Ay⊥AD．以A為原點(diǎn)，分別以AD、Ay、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求得E，P，C的坐標(biāo)，求出平面PEC與平面PAE的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PE﹣C的余弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的性質(zhì)，需要了解兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直才能得出正確答案．