Question

（2010•集美區(qū)模擬）如圖，直線y=-

3

4

x+6分別與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，BP=t（0＜t＜8），點(diǎn)Q（8-t，0）是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)t取何值時(shí)，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)解析式求出求出直線與A點(diǎn)與B點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，就可以求出OA、OB的值，根據(jù)勾股定理就可以求出AB的值；
（2）△APQ是等腰三角形，可以分：PA=AQ；PA=PQ；AQ=PQ三種情況討論，利用等腰三角形的定義，以及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）∵y=-

3

4

x+6，當(dāng)y=0時(shí)，x=8，
當(dāng)x=0時(shí)，y=6，
∴A（0，8），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AB=

36+64

=10．
答：AB的長是10．

（2）①當(dāng)PA=AQ時(shí)，
10-t=8-（8-t），
解得：t=5
②當(dāng)PA=PQ時(shí)，作PH⊥x軸于H，
∴∠PHA=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠PAH=∠BAO，
∴△PAH∽△BAO，
∴

PA

AB

=

AH

OA

，
∴

10-t

10

=

1 2 (8-8+t)

8

，
解得：t=

80

13

；
③當(dāng)AQ=PQ時(shí)，作PM⊥PA于M，
證明△AQM∽△ABO
∴

AM

AQ

=

AO

AB

，

1 2 (10-t)

8-(8-t)

=

8

10

，
解得：t=

50

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的綜合應(yīng)用，正確分情況討論是關(guān)鍵．