Question

    如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連接AE、BF，交點為G．

    (1)求證：AE⊥BF；

    (2)將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延長FP交BA的延長線于點Q，求sin∠BQP的值；

    (3)將△ABE繞點A逆時針方向旋轉，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點N，當正方形ABCD的面積為4時，求四邊形GHMN的面積．

 

Answer 1

    (1)證明：∵E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD的中點，∴CF=BE，  

    ∵Rt△ABE≌Rt△BCF   ∴∠BAE=∠CBF

又∵∠BAE+∠BEA=90⁰，∴∠CBF+∠BEA=90⁰，

∴∠BGE=90⁰，  ∴AE⊥BF    

    (2)根據(jù)題意得：FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90⁰，    

    ∵CD∥AB,     ∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB．∴QF=QB     

    令PF=k（k>O），則PB=2k，

    在Rt△BPQ中，設QB=x，   ∴x²=(x-k)²+4k²,  ∴x=k,

   ∴sin∠BQP=   

   由題意得：∠BAE=∠EAM,又AE⊥BF,  ∴AN=AB=2,

   ∵ ∠AHM=90⁰,  ∴GN//HM,  .  

   ∴  ∴

 ∴ 四邊形GHMN=SΔAHM - SΔAGN=1一=    

所以四邊形GHMN的面積是