Question

如圖所示，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB=6，CD=3，AD=4．動點M、N分別從A、B兩點同時出發(fā)，點M以每秒1個單位長的速度沿AB向點B運動；點N以每秒1個單位長的速度沿B-C-D運動；當其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止．設兩個點的運動時間為t（秒）．
（1）線段BC的長為

 

；
（2）當t為何值時，MN∥AD？
（3）設△DMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式，并指出自變量t的取值范圍；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（4）請直接寫出MN⊥BD時t的值．

Answer 1

分析：（1）利用AB∥DC，AB=6，CD=3，AD=4，得出BE=3，再利用勾股定理求出即可；
（2）首先證明△BMN∽△BEC，再利用比例式求出即可；
（3）分別從當點N在BC上時，過點N作NH⊥x軸于點H，交DC的延長線于點F，以及當點N在CD上時進行分析得出即可；
（4）MN與DB相交于P點，MN⊥BD，易證△MHN∽△DAB即可求出．

解答：解：（1）作CE⊥AB，
∵AB∥DC，AB=6，CD=3，AD=4．
∴BE=3，
∴CD=

CE2+BE2

=5，
故答案為：5；

（2）過點C作CE⊥AB于點E，
∵MN∥AD，
∴△BMN∽△BEC，
∴

BN

BC

=

BM

BE

，
即

t

5

=

6-t

3

，
∴t=

15

4

；

（3）①如圖4，當點N在BC上時，過點N作NH⊥AB于點H，交DC的延長線于點F，
∴NH=

4

5

t，
∴NF=4-

4

5

t，
S=S_梯形ABCD-S_△ADM-S_△MNB-S_△CDN，
=

2

5

t²-

16

5

t+12（0≤t＜5），
∴S=

2

5

（t-4）²+

28

5

（0≤t＜5），
∴當t=4時，S_最小=

28

5

，
②當點N在CD上時，
S=-2t+16（5≤t≤6），
∴當t=6時，S_最小=4，
綜上所述，當t=6時，S_最小=4，

（4）設MN與DB相交于P點，
∵MN⊥BD，易證△MHN∽△DAB，得出

MH

AD

=

HN

AB

，
解得：t=

45

16

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及直角梯形的性質和勾股定理的應用等知識，熟練地應用相似三角形的判定是解決問題的關鍵．