Question

（1）如圖1，圖2，圖3，在△ABC中，分別以AB，AC為邊，向△ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE，CD相交于點O．
①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；
②探究：如圖1，∠BOC=

 

；
如圖2，∠BOC=

 

；
如圖3，∠BOC=

 

；
（2）如圖4，已知：AB，AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊，BE，CD的延長相交于點O．
①猜想：如圖4，∠BOC=360÷n（用含n的式子表示）；
②根據(jù)圖4證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）要證明△ABE≌△ADC，題中△ABD與△ACE均為等邊三角形，容易得出AD=AB，AC=AE，對應全等條件找邊，或夾角，可由∠DAB=∠EAC=60°轉(zhuǎn)換得出∠DAC=∠BAE來證明；
（2）欲求∠BOC的度數(shù)，可以通過證明△ABE≌△ADC及正n邊形的內(nèi)角和定理，得出∠BOC+∠DAB=180°，得出∠BOC=360÷n度的結(jié)論．

解答：解：（1）①證法一
∵△ABD與△ACE均為等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，
且∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△ABE≌△ADC．

證法二：
∵△ABD與△ACE均為等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，
且∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ADC可由△ABE繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到，
∴△ABE≌△ADC，
②120°，90°，72°．

（2）①

360°

n

．
②證法一：依題意，知∠BAD和∠CAE都是正n邊形的內(nèi)角，
AB=AD，AE=AC，
∴∠BAD=∠CAE=

(n-2)180°

n

，
∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
∴△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠ADC+∠ODA=180°，
∴∠ABO+∠ODA=180°，
∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360°，
∴∠BOC+∠DAB=180°，
∴∠BOC=180°-∠DAB=180°-

(n-2)180°

n

=

360°

n

；

證法二：同上可證△ABE≌△ADC．
∴∠ABE=∠ADC，如圖，延長BA交CO于F，
∵∠AFD+∠ABE+∠BOC=180°，∠AFD+∠ADC+∠DAF=180°，
∴∠BOC=∠DAF=180°-∠BAD=

360°

n

；

證法三：同上可證△ABE≌△ADC．
∴∠ABE=∠ADC．
∵∠BOC=180°-（∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD），
∴∠BOC=180°-（∠ADC+∠ABC+∠ACB+∠ACD），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∠ADC+∠ACD=180°-∠DAC，
∴∠BOC=180°-（360°-∠BAC-∠DAC），
即∴∠BOC=180°-∠BAD=

360°

n

；

證法四：同上可證△ABE≌△ADC．
∴∠AEB=∠ACD．如圖，連接CE，
∵∠BEC=∠BOC+∠OCE，
∴∠AEB+∠AEC=∠BOC+∠ACD-∠ACE，
∴∠BOC=∠AEC+∠ACE．
即∴∠BOC=180°-∠CAE=

360°

n

．
注意：此題還有其它證法，可相應評分．

點評：本題圖形復雜，考查了正多邊形的內(nèi)角相等，內(nèi)角和定理：（n-2）•180°，及全等三角形的判斷和性質(zhì)．