Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（0，2），拋物線y＝mx2+4mx+5m的對稱軸與x軸交于點B．

（1）求點B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)m＞0時，過A點作直線l平行于x軸，與拋物線交于C、D兩點（C在D左側(cè)），C、D橫坐標(biāo)分別為x1、x2，且x2﹣x1＝2，求拋物線的解析式；

（3）若拋物線與線段AB恰只有一個公共點，則請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)（﹣2，0）；(2) y＝x2+4x+5；(3) 0＜m＜或m＝．

【解析】

（1）利用對稱軸公式求得對稱軸，即可求得B的坐標(biāo)；

（2）先根據(jù)對稱軸求出x1+x2＝﹣4，結(jié)合x2﹣x1＝2，即可求出x1和x2的值，從而可求出C（﹣3，2），D（﹣1，2），然后用待定系數(shù)法求解即可；

（3）當(dāng)m<0時不合題意；當(dāng)m＞0，分兩種情況討論，結(jié)合圖象即可求得．

解：（1）∵拋物線y＝mx2+4mx+5m的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，

∴對稱軸與x軸交點B的坐標(biāo)為（﹣2，0）；

（2）由題意可知，C、D兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，且C在D的左邊，

∴＝﹣2，

∴x1+x2＝﹣4，

∵x2﹣x1＝2，

∴x1＝﹣3，x2＝﹣1，

∵A（0，2），且過A的直線l平行于x軸，

∴C（﹣3，2），D（﹣1，2），

將D點代入拋物線，得m﹣4m+5m＝2，

解，得m＝1，

∴拋物線的解析式為y＝x2+4x+5；

（3）∵A（0，2），B（﹣2，0），

∴線段AB在x軸上方，直線AB＝x+2，

函數(shù)y＝mx2+4mx+5m中，△＝（4m）2﹣4m5m＝﹣4m2＜0，

∴拋物線與x軸無交點，

當(dāng)m＜0時，拋物線開口向下，頂點在x軸下方，與線段AB為交點，

當(dāng)m＞0時，拋物線開口向上，頂點在x軸上方，若拋物線與AB有一個交點，有兩種情況：

①如圖1，拋物線與AB相切時，則mx2+4mx+5m＝x+2整理得，mx2+（4m﹣1）x+5m﹣2＝0，

△＝（4m﹣1）2﹣4m（5m﹣2）＝0，解得m＝或m＝﹣（舍去），

②拋物線與y軸的交點在O、A之間，即0＜5m＜2，解得0＜m＜，

綜上所述，m的取值范圍是 0＜m＜或m＝．