Question

n個(gè)正整數(shù)a₁，a₂，…，a_n滿足如下條件：1=a₁＜a₂＜…＜a_n=2009；且a₁，a₂，…，a_n中任意n-1個(gè)不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)．求n的最大值．

Answer 1

分析：設(shè)a₁，a₂，a_n中去掉a_i后剩下的n-1個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù)b_i，從而可推出n-1能整除（a_j-a_i），然后根據(jù)a_n-1=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）≥（n-1）+（n-1）+…+（n-1）=（n-1）²，可得出n的范圍，從而結(jié)合題意可得出n的值．

解答：解：設(shè)a₁，a₂，a_n中去掉a_i后剩下的n-1個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù)b_i，i=1，2，n．即bi=

(a1+a2++an)-ai

n-1

．
于是，對于任意的1≤i＜j≤n，都有bi-bj=

aj-ai

n-1

，
從而n-1|（a_j-a_i），
由于b1-bn=

an-a1

n-1

=

2008

n-1

是正整數(shù)，
故n-1|2³×251，
由于a_n-1=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）≥（n-1）+（n-1）+…+（n-1）=（n-1）²，
所以，（n-1）²≤2008，于是n≤45，
結(jié)合n-1|2³×251，所以，n≤9；
另一方面，令a₁=8×0+1，a₂=8×1+1，a₃=8×2+1，a₈=8×7+1，a₉=8×251+1，
則這9個(gè)數(shù)滿足題設(shè)要求．
綜上所述，n的最大值為9．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)的整除性問題，難度較大，在解答時(shí)要抓住a₁，a₂，…，a_n中任意n-1個(gè)不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)這個(gè)條件進(jìn)行解答．