Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（3，4）、（m，0），且AO=AB．
（1）求m的值；
（2）設(shè)P是邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l平分△AOB的周長(zhǎng)，交△AOB的另一邊于點(diǎn)Q．試判斷由l及△AOB的兩邊圍成的三角形的面積s是否存在最大（或最小）值？若存在，求出其值，說明此時(shí)所圍成的三角形的形狀，并求直線l的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AD⊥x軸于D，則交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出OB=2OD即可求出；
（2）根據(jù)勾股定理求出OA，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），則PB=6-x，①當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，PB+QB=（AO+AB+OB）=8，求出QB=x+2，作QE⊥x軸，交點(diǎn)為E，證Rt△ABD∽R(shí)t△QBE，得出，求出，根據(jù)三角形的面積公式即可求出面積的最大值和等腰三角形QPB，即可得出P、Q的坐標(biāo)，設(shè)l的解析式為y=k₁x+b₁，ba P、Q的坐標(biāo)代入得到方程組，求出方程組的解即可得到直線1；當(dāng)Q在AO上時(shí)，由對(duì)稱性可知，當(dāng)x=4時(shí)，S_最大值=，求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，設(shè)直線1的解析式是y=k₂x+b₂，把P、Q的坐標(biāo)代入得到方程組，求出方程組的解即可．
解答：解：（1）作AD⊥x軸于D，則交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0），
∵AO=AB，
∴OB=2OD=6，即m=6，
答：m的值是6．

（2）解：在Rt△AOD中，AO=，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），則PB=6-x，
①當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，
PB+QB=（AO+AB+OB）=8，即QB=x+2，
作QE⊥x軸，交點(diǎn)為E，
∵∠ABD=∠QBE，∠ADB=∠QEB，
∴Rt△ABD∽R(shí)t△QBE，
∵，即，
∴S=，
當(dāng)x=2時(shí)，S_最大值=，
此時(shí)PB=QB=4，即△QPB是等腰三角形，
∴點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（2，0），（）
設(shè)l的解析式為y=k₁x+b₁，
∴，
∴，
即l：y=2x-4；
②當(dāng)Q在AO上時(shí)，
∵OA=AB，
∴點(diǎn)Q與①中的點(diǎn)Q關(guān)于直線AD對(duì)稱，
由對(duì)稱性可知，同法可求，當(dāng)x=4時(shí)，S_最大值=
此時(shí)OP=OQ=4，△QOP是等腰三角形．
此時(shí)，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（4，0）、
設(shè)l的解析式為y=k₂x+b₂
∴，
∴，
即l：y=-2x+8，
答：由l及△AOB的兩邊圍成的三角形的面積s存在最大值，其值是，此時(shí)所圍成的三角形的形狀是等腰三角形，直線l的解析式是y=2x-4或y=-2x+8．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，題型較好，難度適中．