Question

【題目】如圖，拋物線y=（x﹣3）2與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)CD交x軸于G，過原點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為H，交拋物線對稱軸于E，求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

（3）以②中點(diǎn)E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P作⊙E的切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)PQ的長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（3﹣，0），B（3+，0），D（3，﹣）；（2）E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2；（3）P（3+，1）．

【解析】

（1）通過解方程（x﹣3）2=0得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；利用二次函數(shù)性質(zhì)確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）先確定C（0，3），再利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為y=﹣x+3，則可得到G（2，0），拋物線的對稱軸與x軸交于M點(diǎn)，如圖，則M（3，0），然后證明Rt△OEM∽Rt△DGM，利用相似比求出EM，從而得到E點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）連接PE、EQ，如圖，設(shè)P（x，（x﹣3）2），利用切線的性質(zhì)得PQ⊥EQ，則根據(jù)勾股定理得到PQ2=（x﹣3）2+[（x﹣3）2﹣2]2﹣12，然后進(jìn)行配方得到PQ2=[（x﹣3）2﹣5]2+5，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定PQ的長最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）當(dāng)y=0時(shí)，（x﹣3）2=0，解得：x1=3﹣，x2=3+，則A（3﹣，0），B（3+，0）；

拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣）；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，y=（x﹣3）2=（0﹣3）2=3，則C（0，3），設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，把C（0，3），D（3，﹣）代入得：，解得：，∴直線CD的解析式為y=﹣x+3，當(dāng)y=0時(shí)，﹣x+3=0，解得：x=2，則G（2，0），拋物線的對稱軸與x軸交于M點(diǎn)，如圖，則M（3，0）．

∵OE⊥CD，∴∠DHE=90°，∴∠HDE=∠EOM，∴Rt△OEM∽Rt△DGM，∴=，即=，解得：EM=2，∴E（3，2）；

（3）連接PE、EQ，如圖，設(shè)P（x，（x﹣3）2）．

∵PQ為⊙E的切線，∴PQ⊥EQ，∴PQ2=PE2﹣EQ2

=（x﹣3）2+[（x﹣3）2﹣2]2﹣12

=（x﹣3）4﹣（x﹣3）2+

=[（x﹣3）2﹣5]2+5，當(dāng)（x﹣3）2﹣5=0，PQ有最小值，此時(shí)x=3±．

∵點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3+，1）．