Question

【題目】在平面直角坐標系中,四邊形OBCD是正方形,且D(0,2),點E是線段OB延長線上一點,M是線段OB上一動點(不包括點O、B)，作MN⊥DM，垂足為M，交∠CBE的平分線于點N.

(1)寫出點C的坐標；

(2)求證：MD=MN；

(3)連接DN交BC于點F，連接FM，下列兩個結(jié)論：①FM的長度不變；②MN平分∠FMB，其中只有一個結(jié)論是正確的，請你指出正確的結(jié)論，并給出證明

Answer 1

【答案】（1）點的坐標為；（2）見解析；（3）MN平分∠FMB成立，證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)四邊形OBCD是正方形所以點C的坐標應(yīng)該是C（2，2）；

（2）可通過構(gòu)建全等三角形來求解．在OD上取OH=OM，通過證三角形DHM和MBN全等來得出DM=MN．

（3）本題也是通過構(gòu)建全等三角形來求解的．在BO延長線上取OA=CF，通過三角形OAD，FDC和三角形DAM，DMF這兩對全等三角形來得出FM和OM，CF的關(guān)系，從而得出FM是否是定值．然后再看∠FMN是否與∠NME相等．

（1）∵四邊形是正方形，，

∴

∴點的坐標為

(2)在OD上取OH=OM，連接HM，

∵OD=OB，OH=OM，

∴HD=MB，∠OHM=∠OMH，

∴∠DHM=180°45°=135°，

∵NB平分∠CBE，

∴∠NBE=45°，

∴∠NBM=180°45°=135°，

∴∠DHM=∠NBM，

∵∠DMN=90°，

∴∠DMO+∠NMB=90°，

∵∠HDM+∠DMO=90°，

∴∠HDM=∠NMB，

在△DHM和△MBN中，

，

∴△DHM≌△MBN(ASA)，

∴DM=MN.

(3)MN平分∠FMB成立。證明如下：

在BO延長線上取OA=CF,可證△DOA≌△DCF,△DMA≌△DMF，

FM=MA=OM+CF(不為定值)，∠DFM=∠DAM=∠DFC，

過M作MP⊥DN于P，則∠FMP=∠CDF，

由(2)可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°，

∠NMB=∠MDH,∠MDO+∠CDF=45°，

進一步得∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FMB.