Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第二象限且縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，AB=AO，∠ABO=30°，直線MN經(jīng)過原點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A₁在x軸的正半軸上，點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)為B₁．
（1）求∠AOM的度數(shù)．
（2）已知30°，60°，90°的三角形三邊比為l：$\sqrt{3}$：2，求線段AB₁的長和B₁的縱坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A與點(diǎn)A₁關(guān)于直線MN對稱，可得出∠AOM=∠A₁OM，再由等腰三角形的性質(zhì)可得出∠AOB=30°，通過角的計(jì)算即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B₁作B₁D⊥x軸于點(diǎn)D，通過解直角三角形以及等腰三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)對稱的性質(zhì)即可得出點(diǎn)A₁的坐標(biāo)以及AB₁=A₁B，在Rt△OB₁D中，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得出B₁D的長度，此題得解．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A與點(diǎn)A₁關(guān)于直線MN對稱，
∴∠AOM=∠A₁OM，
∵AB=AO，∠ABO=30°，
∴∠AOB=30°，
∵∠AOB+∠AOM+∠A₁OM=180°，
∴∠AOM=75°．
（2）過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B₁作B₁D⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示．
∵∠AOC=30°，∠ACO=90°，AC=1，
∴AO=2AC=2，OC=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$，
∵AB=AO，
∴BO=2OC=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)A（-$\sqrt{3}$，1），點(diǎn)B（-2$\sqrt{3}$，0）．
∵點(diǎn)A與點(diǎn)A₁關(guān)于直線MN對稱，
∴OA₁=OA=2，
∴點(diǎn)A₁（2，0），
∴A₁B=2-（-2$\sqrt{3}$）=2+2$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A₁，點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)為B₁，
∴AB₁=A₁B=2+2$\sqrt{3}$，OB₁=OB=2$\sqrt{3}$．
在Rt△OB₁D中，∠B₁OD=∠AOB=30°，
∴B₁D=$\frac{1}{2}$OB₁=$\sqrt{3}$．
故線段AB₁的長為2+2$\sqrt{3}$，B₁的縱坐標(biāo)為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了對稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是：（1）找出∠AOM=∠A₁OM；（2）求出線段A₁B和B₁D的長度．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．