Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象交x軸于A（4，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連結(jié)AC．

(1)填空：該拋物線的函數(shù)解析式為 ，其對(duì)稱軸為直線 ；

(2)若P是拋物線在第一象限內(nèi)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)Q，試求線段PQ的最大值；

(3)在（2）的條件下，當(dāng)線段PQ最大時(shí)，在x軸上有一點(diǎn)E（不與點(diǎn)O，A重合），且EQ=EA，在x軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD與△AEQ相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）把代入拋物線中列方程組，解出可得b和c的值，可得拋物線的解析式，配方成頂點(diǎn)式可得對(duì)稱軸；
（2）先利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式，再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)鉛直高度表示PQ的長，并配方可得PQ的最大值；
（3）分兩種情況：①當(dāng)D在線段OA上時(shí)，如圖1，根據(jù)△AEQ∽△ADC，由EQ=EA，得CD=AD，利用勾股定理解決問題；②當(dāng)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖2根據(jù)三角形相似，由EQ=EA可得OA=OD，可得D的坐標(biāo)．

．解：（1）把代入拋物線中得：

解得：

∴

∴拋物線的函數(shù)解析式為：其對(duì)稱軸為直線：

故答案為：

(2)∵A(4,0),C(0,3)，

∴直線AC的解析式為：

設(shè),則

∴

∵P是拋物線在第一象限內(nèi)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，

∴0<x<4，

∴當(dāng)x=2時(shí)，PQ的最大值為3；

(3)分兩種情況：

①當(dāng)D在線段OA上時(shí),如圖1,△AEQ∽△ADC，

∵EQ=EA,

∴CD=AD，

設(shè)CD=a，則AD=a，OD=4a，

在Rt△OCD中,由勾股定理得：

∴

∴

∴

②當(dāng)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí),如圖2,△AEQ∽△ACD，

∵EQ=EA，

∴CD=AC，

∵OC⊥AD，

∴OD=OA=4，

∴D(4,0)，

綜上所述,當(dāng)△ACD與△AEQ相似時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為或(4,0).