Question

已知，矩形ABCD中，延長BC至E，使BE=BD，F(xiàn)為DE的中點，連結(jié)AF、CF．
（1）若AB=3，AD=4，求CF的長；
（2）求證：∠ADB=2∠DAF．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理得出BD的長，以及DE的長，進而求出CF的長；
（2）首先得出△ADF≌△BCF（SAS），進而得出∠DAF=∠FBC=

1

2

∠DBE，再利用平行線的性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）∵因為四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD=4，CD=AB=3，
在RT△ABD中，BD=

AB2+AD2

=

32+42

=5，
∴BE=BD=5CE=BE-BC=1，
∴DE=

CD2+CE2

=

10

，
∵F是DE的中點，
∴CF=

DE

2

=

10

2

；

（2）連接BF．
∵BE=BD，EF=DF，
∴∠DBF=∠EBF，
又∵CF=

1

2

DE=DF，
∴∠DCF=∠FDC，
∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，
即∠ADF=BCF，
在△ADF和△BCF中，

DF=CF ∠ADF=∠BCF DA=CB

，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠DAF=∠FBC=

1

2

∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE，
∴∠ADB=2∠DAF．

點評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出△ADF≌△BCF是解題關(guān)鍵．