Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）：

（1）若k＝3，求方程的解；

（2）若方程恰有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x1＝，x2＝1，x3＝；（2）k≤0或k＝1或k≥4．

【解析】

（1）將k＝3代入原方程，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)把原方程化成兩個(gè)一元二次方程進(jìn)行解答；

（2）由于x＝1恒為方程|x21|＝（x1）（kx2）的解，當(dāng)x≠1時(shí)，只需函數(shù)y＝與函數(shù)y＝kx2的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)就可以，畫(huà)出x≠1時(shí)函數(shù)y＝，根據(jù)圖象確定直線(xiàn)y＝kx2與函數(shù)y＝圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍便可．

解：（1）把k＝3代入|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）中，得|x2﹣1|＝（x﹣1）（3x﹣2），

當(dāng)x2＞1，即x＞1或x＜﹣1時(shí)，原方程可化為：x2﹣1＝（x﹣1）（3x﹣2），

解得，x＝1（舍），或x＝；

當(dāng)x2≤1，即﹣1≤x≤1時(shí)，原方程可化為：1﹣x2＝（x﹣1）（3x﹣2），

解得，x＝1，或x＝；

綜上，方程的解為x1＝，x2＝1，x3＝；

（2）∵x＝1恒為方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）的解，

∴當(dāng)x≠1時(shí)，方程兩邊都同時(shí)除以x﹣1得，=kx﹣2，

要使此方程只有一個(gè)解，只需函數(shù)y＝與函數(shù)y＝kx﹣2的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．

∵函數(shù)：，

作出函數(shù)圖象，

由圖象可知，當(dāng)k＜0時(shí)，直線(xiàn)y＝kx﹣2與函數(shù)y＝圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)k＝0時(shí)，直線(xiàn)y＝kx﹣2＝﹣2與函數(shù)y圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)k＝1時(shí)，y＝kx﹣2＝x﹣2與y＝x+1平行，則與函數(shù)y＝圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；

∵當(dāng)直線(xiàn)y＝kx﹣2過(guò)（1，2）點(diǎn)時(shí)，2＝k﹣2，則k＝4，

∴函數(shù)圖象可知，當(dāng)k≥4時(shí)，直線(xiàn)y＝kx﹣2與函數(shù)y＝圖象也只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴要使函數(shù)圖象與y＝kx﹣2圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≤0或k＝1或k≥4．

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍：k≤0或k＝1或k≥4．