Question

如圖，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若∠C＝90°，如圖①，根據勾股定理，則a²＋b²＝c²，若△ABC不是直角三角形，如圖②和圖③，請你類比勾股定理，試猜想a²＋b²與c²的關系，并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

[探究過程]若△ABC為銳角三角形，則有a2＋b2＞c2；若△ABC為鈍角三角形，且∠C為鈍角，則有a2＋b2＜c2．當△ABC是銳角三角形時，理由如下：過A點作AD⊥CB于D，如圖①，設CD＝x，則有DB＝a－x，根據勾股定理，得b2－x2＝c2－(a－x)2，即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2，所以a2＋b2＝c2＋2ax，因為a＞0，x＞0，所以a2＋b2＞c2；當△ABC為鈍角三角形時，理由如下：過點B作BD⊥AC交AC的延長線于點D，如圖②所示，設CD＝x，則BD2＝a2－x2，根據勾股定理，得(b＋x)2＋a2－x2＝c2，即b2＋2bx＋x2＋a2－x2＝c2，所以a2＋b2＋2bx＝c2，因為b＞0，x＞0，所以2bx＞0，所以a2＋b2＜c2． 　　[探究評析]通過觀察，猜想得出結論，用勾股定理的知識去驗證結論的正確性．